Рассмотрим задачу поиска условного экстремума:

f(X) ® max

при условиях

(2)

g1(Х) = 0; g2(Х) = 0, ., gn(Х) = 0,

все ограничения которой представляют собой равенства.

Если при этом целевая функция и все ограничивающие функции непрерывно

дифференцируемы, то такую задачу мы будем называть задачей Лагранжа.

3. Задача Лагранжа с одним ограничением

Рассмотрим задачу, имеющую следующую структуру:

f(X) ® max

при условии

(3)

g(X) = 0.

Рассмотрим пример. По склону горы идет дорога, требуется найти на ней самую

высокую точку. На рис. 1 представлена карта местности с нанесенными на нее

линиями

Рис. 1

равных высот; толстая линия – это дорога. Точка М, в которой дорога касается

одной линий уровня, - это и есть наивысшая точка дороги.

Если Х = (х1, х2) – точка плотности, х1 и х2 – её координаты, то задаче можно

придать следующую форму. Пусть f(Х) — высота точки Х над уровнем моря, а

уравнение g(X) = 0 описывает дорогу. Тогда наивысшая точка дороги - решение

задачи (3).

Если бы дорога проходила через вершину горы, то ее высшая точка была бы самой

высокой точкой местности, и ограничение можно было бы не принимать во

внимание.

Если же дорога не проходит через вершину, то, немного отклонившись от дороги,

можно было бы подняться выше, чем двигаясь строго по дороге. Отклонение от

дороги соответствует попаданию в такие точки, где g(X) ¹ 0; при

малых отклонениях достижимую при этом высоту можно приближенно считать

пропорциональной отклонению.

Идею решения задачи Лагранжа можно представить следующим образом: можно

попытаться “исправить” рельеф местности так, чтобы отклонение от дороги не

давало преимуществ в достижении высоты. Для этого нужно заменить высоту f(Х)

функцией.

L(X) = f(X) - lg(Х),

где множитель l подбирается таким образом, чтобы участок склона в окрестности

точки М стал горизонтальным (слишком малое l не устранит преимуществ

отклонений от дороги, а слишком большое – придаст преимущество отклонениям в

противоположную сторону).

Теперь, поскольку рельеф L(X) делает площадку в окрестности точки оптимума

горизонтальной, эта точка удовлетворяет равенствам

а так как точка лежит на дороге, то – и ограничению g(X) = 0.

рис.2

Пример с горой и дорогой — лишь иллюстрация идеи; точно так же двумерный

случай использован исключительно для наглядности. Подобным образом можно было

бы рассуждать и в общем, n-мерном случае.

Справедливо следующее утверждение:

Если f(х1,.,хn) и g(х1,.,хn) - непрерывно дифференцируемые функции всех своих

аргументов, то решение задачи

f(х1,.,хn) ® max

при условии

g(х1,.,хn) = 0

удовлетворяет равенствам

где

L(х1,.,хn;l) = f(х1,.,хn) — lg(х1,.,хn).

Функция L(X; l) получила название функции Лагранжа (или лагранжиана

) задачи (3), а коэффициент l — множителя Лагранжа.

Заметим, что равенство (5) — это представленное в другой форме ограничение

g(Х) = 0.

Приведенные выше рассуждения, разумеется, не являются доказательством

сформулированного здесь утверждения; они лишь помогают понять существо

метода: составляющая lg(Х) в составе функции Лагранжа должна уравновешивать

возможное увеличение максимального значения функции g(Х) от нуля. Это

обстоятельство в дальнейшем будет весьма полезно при обсуждении смысла

множителя Лагранжа.

Рассмотрим чрезвычайно простой пример. Веревкой длины А требуется огородить

на берегу моря прямоугольный участок наибольшей площади (берег считается

прямолинейным).

Рис.3к задаче Дидона

Обозначим стороны прямоугольника х1 и х2 (см. рис. 3). Решим сначала задачу

без использования метода Лагранжа.

Очевидно, х2 = А - 2 х1 и площадь прямоугольника равна

S = х1х2 = x1(А - 2х1). Рассматривая ее как функцию

одного аргумента х1, нетрудно найти его значение, при котором площадь

максимальна: х1 = А/4. Отсюда х2 = А/2. Максимальная площадь равна S* = А2

/8.

Теперь рассмотрим эту же задачу в форме задачи Лагранжа:

х1х2 ® max

при условии

2 х1 + х2 - А = 0

Лагранжиан этой задачи равен

L(х1,х2; l) = х1х2 - l(2х1 + х2 - А),

и условия экстремума имеют вид

так что

х2 = 2l

х1 = l

2 х1 + х2 = А

Подставляя значения х1 и х2 из первого и второго равенств в третье, находим,

что 4l = А, откуда

l = А/4; х1 = А/4; х2 =А/2,

как и при решении первым способом.

Этот пример показывает распространенный способ решения задачи Лагранжа.

Соотношения (4) и (5) образуют систему уравнений относительно х1,.,хn и l,.

Система состоит из n + 1 уравнения - n уравнений вида (4) и одно уравнение

вида (5). Число уравнений равно числу неизвестных. Из уравнений вида (4)

можно попытаться выразить каждую из неизвестных х1,.,х2 через l, то есть

решить ее как систему из n уравнений, рассматривая l как параметр. Подставляя

получившиеся выражения в уравнение (5) – нам известно, что оно совпадает с

ограничением, - получаем уравнение относительно l. Решая его, находят l,

после чего определяются исходные неизвестные х1,.,хn.

4. Смысл множителей Лагранжа

При решении задачи Лагранжа мы интересовались значениями х1,.,хn; кроме того,

нас могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в

процессе решения попутно было определено значение еще одной величины -

множителя Лагранжа.

Оказывается, множитель Лагранжа — весьма существенная характеристика решаемой

задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку

ограничения, ничего не изменяя по существу.

Типичная экономическая ситуация характеризуется тем, что приходится искать

наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса.

Если r - заданное количество ресурса, а функция h(X) характеризует потребное

его количество для достижения точки Х, то ограничению естественно придать

форму

h(X) £ r.

По характеру задачи часто бывает ясно, что для достижения оптимума ресурс

нужно использовать полностью, так что ограничение может быть записано в виде

равенства

h(X) = r. (6)

Это условие можно представить в форме g(X) = h(Х) - r = 0. Но значительный

интерес представляет максимально достижимый уровень функции f(x) в

зависимости от имеющегося количества ресурса r. Обозначим

F(r) = max f(X) .

В правой части - принятое обозначение условного экстремума: после

вертикальной черты выписывается условие.

Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали lg(Х)

как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при

отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от

r. Если располагаемое количество ресурса получает приращение Ùr, то мы

должны ожидать приращение максимума функции f(X) на lÙr.

В действительности это соотношение носит приближенный характер. Точный

результат мы получили бы в пределе при Ùr ® 0:

Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума

целевой функции при изменении ограничивающей константы r в ограничении вида

(6).

В рассмотренном в предыдущем пункте варианте задачи Дидоны ограниченным ресурсом

была длина веревки А. Максимальная площадь оказалось равной S(A) = A2

/8. Отсюда dS(А)/dА = А/4, что в точности соответствует найденному при решении

значению l.

рис. 4

Приведем еще одно рассуждение. Для всевозможных точек Х найдем значения f(X)

и h(Х) и отложим эти значения в виде точек в декартовых координатах (рис. 4).

Если при каждом значении h(Х) существует максимум функции f(Х), то все точки

расположатся ниже некоторой кривой, показанной на рисунке жирной линией.

Нас интересуют точки, соответствующие условию h(X) = r. Максимум f(X) помечен

точкой М*; обозначим l наклон кривой в этой точке. Если в качестве ординаты

брать не f(X), а L(X; l) =f(X) - l [h(X) — r], то новая верхняя граница имела

бы в точке М* горизонтальную касательную. Это значит, что в исходном n-мерном

пространстве соответствующая точка М — стационарная точка функции L (X; l) с

данным значением параметра l. Таким образом, l - множитель Лагранжа.

Но жирная черная кривая — это график функции F(r), а l - его угловой

коэффициент, откуда и следует равенство (7).

5. Простейшие модели управления запасами.

Рассмотренные ниже задачи связаны с оптимальным регулированием запасов. Эти

задачи можно сформулировать следующим образом:

1. Моменты времени, в которые принимаются заказы на пополнение

запасов, фиксированы. Остается определить объем и время заказов.

2. Необходимо определить и объем и время заказов.

Задача исследования состоит в отыскании оптимального решения этих задач. Под

оптимальным здесь понимается решение, минимизирующее сумму всех расходов,

связанных с созданием запасов. Эти расходы бывают трех типов:

1. Расходы, вызываемые оформлением и получением заказа при закупке или

производстве. Это величина, не зависящая от размера партии, и, следовательно,

переменная для единицы продукции.

2. Стоимость хранения единицы продукции на складе. Сюда включается

затраты, связанные с организацией хранения, устареванием и порчей, расходы на

страхование и налог.

3. Расходы (штрафы), возникает при истощении запасов, когда происходит

задержка в обслуживании или спрос вообще невозможно удовлетворить.

Все затраты могут оставаться постоянными или изменяться как функции времени

(например, в зависимости от сезона может быть различным штраф за зависимость

хранения единицы товара на складе).

В задачах управления запасами учитывается также характеристики спроса и

возможности пополнения запасов.

Спрос может быть известным или неизвестным, постоянным или зависящем от

времени. Величина, характеризующая спрос, может быть как дискретной

(например, количество автомобилей), так и непрерывной.

Спрос на запасенные товары может возникать в определенные моменты времени

(спрос на мороженое на стадионе) или существовать постоянно (спрос на

мороженное в большом аэропорту).

Заказы на пополнение запасов в ряде случаев могут выполняться немедленно

(например, при заказе молока в небольшом магазине). В других случаях

выполнение заказа требует значительного времени. Заказы можно делать в любые

или только в определенные моменты времени.

Объем поступающий на склад продукции может измеряться дискретной или

непрерывной и может быть как постоянным, так и переменным. Само поступление

может быть дискретным и непрерывным и происходить равномерно или

неравномерно.

Примем следующие обозначения:

q - объем заказа (при пополнении запасов);

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5