q0 - оптимальный размер заказа;

t - интервал времени;

ts - интервал времени между двумя заказами;

tso - оптимальный интервал времени между заказами;

T - период времени, для которого ищется оптимальная стратегия;

R - полный спрос за время Т;

C1 - стоимость хранения единицы продукции в единицу времени;

C2 - величина штрафа за нехватку одной единицы продукции (в определенный

момент времени).

Cs - стоимость заказа ( при покупке или производстве),

Cs - ожидаемые суммарные накладные расходы;

Qo - минимум ожидаемых суммарных накладных расходов;

So - оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени.

Модель I.

Пусть некий предприниматель должен поставлять своим клиентов R изделий

равномерно в течение интервала времени Т. таким образом, спрос фиксирован и

известен. Нехватка товара не допускается, т.е. штраф при неудовлетворенном

спросе бесконечно велик (C2 =µ). Переменные затраты производства складываются

из следующих элементов: C1 - стоимость хранения одного изделия (в единицу

времени), C2 - стоимость запуска в производство одной партии изделий.

Предприниматель должен решать, как часто ему следует организовывать выпуск

партии и каким должен быть размер каждой партии.

Уравнение цен и его аналитическое решение. Только что описанная

ситуация представлена графически на рис.5. Пусть q -размер партии, ts

- интервал времени между запусками в производство партии, а R - полный спрос за

всё времени планирования T.

Тогда R/q – число партий за время Т и

Если интервал ts начинается, когда на кладе имеется q изделий и заканчивается

при.

отсутствии заказов, тогда q/2 – средний запас в течение ts (равенство

q/2= qср следует рассматривать как приближенное. Точность его тем выше, чем

больше R) q/2* C1 ts затраты на хранения в интервале ts.

Общая стоимость создания запасов в интервале ts равна сумме стоимости запуска

в производство

Для вычисления полной стоимости создания запасов за время Т следует эту

величину умножить на общее число партий за это время:

Подставляя сюда выражение для ts, получаем

или

Члены в правой части уравнений (44) представляют стоимость хранения и полную

стоимость заказа в производстве всех партий. С увеличением размера партий

первый член возрастает, а второй убывает. Решение задачи управления запасами

и состоит в определении такого размера партии qo, при котором суммарная

стоимость была бы наименьшей (рис. 6)

Найденное оптимальное значение qo размер партии

Для оптимальных tsо и Qo имеем

Пример I: Пусть предприниматель должен поставлять своему заказчику 24000

единиц продукции в год. Так как получаемая продукция используется

непосредственно на сборочной линии и заказчик не имеет для нее специальных

складов, поставщик должен единично отгружать дневную норму. В случаи нарушения

поставок поставщик рискует потерять заказ. Поэтому нехватка продукции

недопустима, т.е. штраф при нехватке можно бесконечным. Хранение единицы

продукции в месяц стоит 0,1 долл. Стоимость запуска в производство одной партии

продукции составляет 350 долл.

Требуется определить оптимальный размер партии q0, оптимальный период и tsо

вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат Qо. В данном случае Т = 12

месяцам, R = 24 000 единиц, Сs = 0,1 долл./партия Сs = 350 дол/партия.

Подстановка этих значений в уравнения (9), (10) и (11) дает нам.

Модель II.

Рассмотрим теперь случай, который отличается от предыдущего только тем, что

превышение спроса над запасами уже допускается, т.е. штраф за нехватку

конечный.

Уравнение цен и его аналитическое решение. Рассматриваемая

ситуация изображена на рис. 7. В начале каждого интервала имеется уровень

запасов. Из подобия треугольников находим.

Средний запас в течении t1, равен S/2. Поэтому затраты на хранение за всё

время t1

составляют S/2 * t1 С1. Средняя нехватка (превышение спроса над уровнем

запасов) за врем t2 равна (q-S)/2, и штраф за время t2 равна (q – S)/2, и

штраф за время t2 составляет ((q – S)/2)* Q2 t2 .

Таким образом, ожидаемые суммарные расходы за всё время Т определяется

следующим выражением:

Подставляя сюда найденные выше выражения для t1 и t2 учитывая полученное

раннее выражение для ts, имеем

Из уравнения (12) можно найти оптимальные значения для q и S, при которых

полные ожидаемый расходы будут минимальными.

После дифференцирования уравнения (12) имеем:

.

Приравнивая эти частные производные нулю и упрощая, получаем выражения,

Решая эту систему уравнений относительно S и q, находим

и, следовательно,

Что бы получить Qо, заменим, что

Поставляем (14) и (51) в (12), после упрощения получаем

При сравнении результатов, полученных для моделей I и II, можно заметить, что

во первых уравнения (9), (10) и (11) можно получить из уравнения (13), (15),

и (16), если в них устремиться С2 к бесконечности. Этот результат нельзя

считать неожиданным, так как модель I есть частный случай модели II.

Во – вторых, если С2 ¹ µ, то

Следовательно, ожидаемые суммарные расходы в модели II меньше, чем в модели I.

Пример II: Пусть сохраняются все условия примера I, но только штраф С2 за

нехватку теперь равен 0,2 долл. за одно изделие в месяц. И уравнения (13) –

(16) получаем:

При оптимальной стратегии ожидаемый дефицит к концу каждого периода составлял

бы 4578 – 3058 = 1522 изделия.

6. Модель I. Модель Уилсона без ограничений

В качестве простейшей модели управления запасами рассмотрим модель

оптимизации текущих товарных запасов, позволяющих повысить эффективность

работы торгового предприятия. Такая модель строится в следующей ситуации:

некоторое торговое предприятие в течении фиксированного периода времени

собирается завести и реализовать товар конкретного (заранее известного)

объема и при этом необходимо смоделировать работу предприятия так, чтобы

суммарные издержки были минимальны. При построении этой модели используется

следующие исходные предложения:

1. планируется запасы только одного товара или одной товарной группы;

2. уровень запасов снижается равномерно в результате равномерно

производимой продажи;

3. спрос и планируемом периоде заранее полностью определен;

4. поступление товаров производится строго в соответствии с планом,

отклонения не допускаются, штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно

велик;

5. издержки управления запасами складывается только из издержек по завозу

и хранению запасов.

Суммарные издержки будем считать зависящими от величины одной поставки q.

Таким образом, задача оптимального регулирования запасов сводится к

нахождению оптимального размера q0 одной постановки. Найдя оптимальное

значение управляемой переменной q, можно вычислить и другие параметры модели,

а именно: количество поставок n0, оптимальный интервал времени tso между

двумя последовательными поставками, минимальные (теоретические) суммарные

издержки Q0.

Введем следующие обозначения для заранее известных параметров модели:

T - полный период времени, для которого строится модель;

R - весь объем (полный спрос) повара за время T;

C1 - стоимость хранения одной единицы товара в единицы времени;

Cs - расходы по завозу одной партии товара.

Обозначим через Q неизвестную пока суммарную стоимость создания запасов или,

что то же самое, целевую функцию. Задача моделирования состоит в построении

целевой функции Q = Q(q). Суммарные издержки, будут состоять из издержек по

завозу и хранению товара.

Полные издержки по хранению текущего запаса будет равны

т.е. произведению стоимости хранению одной единицы товара на “средний”

текущий запас. По предложению 2 уровень запасов снижается равномерно в

результате равномерно производимой продажи, т.е. если в начальный момент

создания запаса он равен q, то в конце периода времени ts он стал равен 0 и

тогда “средний” запас равен

Полные издержки по завозу товара будут равны

т.е. произведению стоимости завоза одной партии товара на количество поставок n,

которые очевидно равны

.

Тогда суммарные издержки управления текущими запасами составят

т.е. целевая функция Q является нелинейной функцией величины q, изменяющейся

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5