|
Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана измеримая
ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то
 = c .
Следствие. Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на множестве Е, то
 =  - .
Теорема 5. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на
измеримом множестве Е. Если
f(x) £ F(x),
то
 £  .
Действительно, функция F(x)—f(x) не отрицательна, так что
 -  =  ³ 0.
Теорема 6. Если функция f(x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то
 £ 
4. Предельный переход под знаком интеграла
Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом множестве E
задана последовательность измеримых ограниченных функций
f1(x), f2(x), f3(x), ¼ , fn(x), ¼
которая в каком-нибудь смысле (везде, почти везде, по мере) сходится к
измеримой ограниченной функции F(x). Спрашивается, будет ли справедливо
соотношение
 
= 
(1)
Если (1) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком
интеграла.
Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции fn
(x) определены в сегменте [0, 1] следующим образом:
 n при xÎ  ,
fn(x) =
0 при x   ,
то при всяком x Î [0, 1] будет
 fn(x) = 0, но  = 1,
и этот интеграл не стремится к нулю.
Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые
нужно наложить на функцию fn(x), чтобы равенство (1) все же
имело место.
Мы ограничимся доказательством следующей теоремы.
Теорема (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана
последовательность f1(x), f2(x), f3(x),
¼ измеримых ограниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой
ограниченной функции F(х)
fn(x) Þ F(x).
Если существует постоянная К, такая, что при всех п и лри всех х
 < K,
то
 
= 
(1)
Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для всех х Î Е будет
 £ K.
(2)
В самом деле, из последовательности {fn(x)} можно (на
основании теоремы Рисса) извлечь частичную последовательность {
(x)}, которая сходится к F(x) почти везде. Во всех точках, где
 (x) ® F(x),
можно перейти к пределу в неравенстве  < K, что и приводит к (2).
Пусть теперь s есть положительное число. Положим,
An(s) = E( )³s), Bn(s) = E( )<s.
Тогда
 £  =  +  .
В силу неравенства  £  +  , почти для всех х из множества An(s) будет
 < 2K,
так что по теореме о среднем
 £ 2K×
mAn(s)
(3)
(то обстоятельство, что неравенство 
< 2К может не выполняться на множестве меры 0, несущественно. Можно,
например, функцию 
на этом множестве изменить, сделав ее равной нулю; тогда неравенство (3) будет
выполняться во всех точках А. Но так как изменение функции на множестве
меры 0 не влияет на величину интеграла, то (3) верно и без такого изменения).
С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем,
 £ smBn(s) £ smE.
Сопоставляя это с (3), находим, что
 £
2K× mAn(s) + smE.
(4)
Заметив это, возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое s > 0, что
s× mE <  .
Фиксировав это s, мы, на основании самого определения сходимости по
мере, будем иметь, что при n ® ¥
mAn(s) ® 0
и, стало быть, для n > N окажется
2K× mAn(s) <  .
Для этих n неравенство (4) примет вид
 < e,
что и доказывает теорему.
Легко понять, что теорема остается верной и в том случае, когда неравенство
 < K
выполняется только почти везде на множестве Е. Доказательство остается прежним.
Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходимости, то теорема и
подавно сохраняет силу для того случая, когда
fn(x) ® F(x)
почти везде (и тем более везде).
5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х). Пусть
x0 Î [a, b] и d > 0. Обозначим через m
d(x0) и Мd(х0) соответственно
точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f(x) на интервале
(х0 - d, x0 + d)
md(x0) = inf{f(x)}, Md(x0) = sup{f(x)} (х0 - d < x < x0 + d).
(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала
(х0 - d, x0 + d), которые лежат также и на сегменте [а, b].)
Очевидно,
md(x0) £ f(x0) £ Md(x0).
Если d уменьшается, то md(x0) не убывает,
a Md(x0) не возрастает. Поэтому существуют
определенные пределы
m(x0) =  md(x0), Md(x0) =  Md(x0),
причем, очевидно,
md(x0) £ m(x0) £ f(x0) £ M(x0) £ Md(x0).
Определение. Функции т(х) и М(х) называются
соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).
Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х0
. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно,
чтобы было
m(x0) = M(x0).
(*)
Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в
точке x0. Взяв произвольное e > 0, найдем такое
d > 0, что как только
 < d,
так сейчас же
 < e.
Иначе говоря, для всех х Î (х0 - d, x0 + d) будет
f(x0) - e < f(x) < f(x0) + e.
Но отсюда следует, что
f(x0) - e £ md(x0) £ Md(x0) £ f(x0) + e,
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
| 
