а стало быть, и тем более

f(x0) - e £ m(x0) £ M(x0) £ f(x0) + e,

откуда, ввиду произвольности e, и вытекает (*). Итак, необходимость

условия (*) доказана.

Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, оче­видно,

m(x0) = M(x0) = f(x0)

и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно.

Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое d > 0, что

m(x0) - e < md(x0) £ m(x0), M(x0) £ Md(x0) < M(x0) + e.

Эти неравенства означают, что

f(x0) - e < md(x0), Md(x0) < f(x0) + e.

Если теперь x Î (х0 - d, x0 + d), то f(x) лежит между md(x0) и Md(x0), так что

f(x0) - e < f(x) < f(x0) + e.

Иначе говоря, из того, что < d вытекает, что

< e,

т. е. функция f(x) непрерывна в точке х0.

Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b]

[, ]. Введем функцию ji(x), полагая

(I = 1, 2, 3, ¼ ; k = 0, 1, 2, ¼ , ni), то

ji(x0) = m(x0).

Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и назовем че­рез

] тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку

х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из

точек деления, то

< x0 <

и, следовательно, при достаточно малых d > 0 будет

(х0 - d, x0 + d) Ì [, ],

откуда следует, что

£ md(x0)

или, что то же самое, что

ji(x0) £ md(x0).

Устремив d к нулю и перейдя к пределу, находим, что при лю­бом i

ji(x0) £ m(x0).

Этим самым лемма уже доказана для случая т(х0) = - ¥. Пусть т(х0) > - ¥ и пусть

h < m(x0).

Тогда найдется такое d > 0, что md(x0) > h.

Фиксировав это d, найдем столь большое i0, что при i > i0 будет

[, ] Ì (х0 - d, x0 + d),

где, как и выше, [

, ] есть

сегмент, содержащий точку х0. Существование такого i

0 следует из условия li ® 0.

Для таких i будет

³ md(x0) > h,

или, что то же самое,

ji(x0) > h.

Итак, для всякого h < m(x0) найдется такое i0, что при i > i0

h < ji(x0) £ m(x0),

а это и значит, что ji(x0) ® m(x0). Лемма доказана.

Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.

В самом деле, множество точек деления {

} счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что j

i(x) ® m(x) почти везде.

Но ji(x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит

изме­рима я функция т(x). Для верхней функции Бэра М(х)

рассужде­ние аналогично.

Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f(x) ограничена, то

(L) ® (L) .

Действительно, если £ K, то, очевидно,

£ K, £ K,

откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L), после

чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном пе­реходе под знаком

интеграла.

Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что

(L) = = = si,

где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му

способу дробле­ния. Таким образом, следствие 2 означает, что при i ® ¥

si ® (L) .

Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу Si при

возрастании i стремится к интегралу от верхней функции Бэра

Si ® (L) .

Но в таком случае

Si - si ® (L) .

С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы

ограниченная функция f(x) была интегрируема (R), необходимо и

достаточно, чтобы было Si – si ® 0.

Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для инте­грируемости (R)

функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы было

(L) = 0.

(1)

Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х)

эквивалентна нулю, но так как эта разность неотри­цательна, то и обратно из (1)

следует, что

т(х) ~ М(х).

(2)

Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x)

равно­сильна соотношению (2).

Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.

Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функ­ция f(x)

везде.

Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак

интегрируемости (R). В частности, она оправды­вает сделанное в пункте 2

замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень

разрывные» функции.

Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она

необходимо ограничена и почти везде будет

т(х) = М(х).

Но ведь

т(х) £ f(x) £ М(х).

Значит, почти везде

f(x) = m(x),

и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима

сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегри­руема (L),

то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в

смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.

Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что

(L) = (L) .

Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой

(R) функции f(x) будет

si ® (R),

где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му

способу дробле­ния. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,

si ® (L) ,

мы видим, что

(R) = (L) .

Таким образом, имеет место

Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо

интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6