|
В заключение отметим, что функция Дирихле y(x) (равная нулю в
иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо
она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R),
так что теорема 3 не обратима.
6. Примеры
1) Вычислить интеграл Лебега от функции  на интервале (1; 2).
Строим срезку
N, f(x) ³ N,
fN(x) =
f(x), f(x) < N.
 = N,
x = 1 +  .
  =  ,
 =  +  = Nx +   = N - N +  -
-   =  +  -   = -   +  ,
  =   =  ,
(L) =  .
2) Суммируемы ли функции  и  на интервале (0; 1).
f(x) =  .
Строим срезку
 = N,
x =  .
 =  +  =  +  = 1 -  = 1 +  ,
 =   =  (1 +  ) = +¥,
значит функция f(x) =  суммируемой не является.
f(x) =  .
Строим срезку
 = N,
x =  .
 =  +  =  -  =  - (1 -  ) =  - 1 +  =
= 2 - 1,
 =   =  (2 - 1) = +¥,
значит функция f(x) =  суммируемой не является.
3) Суммируема ли функция f(x) =  на отрезке [-1; 1], где f(0) = 0.
   , x > 0 0 , x ³ 0
 =  =
0 , x £ 0  , x < 0
 =  -  .
Строим срезку
N =  ,
x =  .
(L) =   =   =   =
=   =   = +¥.
Строим срезку
N =  ,
x =  .
(L) =   =   =   =
=   =   = +¥,
значит функция f(x) =  не является суммируемой на [-1 ;1].
4) Суммируема ли функция f(x) =  на [1; 3], где f(2) = 1.
   , x > 2 0, x ³ 2
 = 0, x < 2  =
1, x = 2  , x < 2
Строим срезку
 = N,
x = 2 +  .
(L) =   =   =
=   =   =
=   =  =  .
Строим срезку
 = N,
x = 2 -  .
(L) =   =   =   =   = 
функция f(x) суммируема на [1; 3].
7. Литература
1) Колмогоров, Фомин «Элементы функционального анализа».
2) Натансон И. П. «Теория функций вещественной переменной», С-П, 1999.
3) Очан «Сборник задач по математическому анализу».
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
|
