Sn=u1+u2+.+un

Sn-1\u1+u2+.+un-1

un=Sn-Sn-1, поэтому:

Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е.

если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при

этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является

зато достаточным условием расходимости ряда.

№5

1 Замена переменных в двойном интеграле.

Общий случай криволинейных координат

Пусть существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные

координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x =

x(u,v), y=y(u,v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными производными

первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное

соответствие между точками плоской области Д и области Д’ и определитель

преобразования, наз. Якобианом не обращается в 0:

если это выполняется можно пользоваться ф-лой:

2 Интегральный признак

Т1 Пущай дан рядт

(1), члены которого неотрицательны, и не возрастают: u1>=u2>=u3.>=un

Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая на

[1,+¥] такая, что f(n) = Un, " n Î N, то для сходимости ряда (1)

необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:

, а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот

расходился (ВАУ!).

Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он:

, a Î R Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при a >0 общий

член оного un=1/na à0 и убывает поэтому можно воспользоваться

интегральным признаком, функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/xa

(x>=1)сия ф-ция удовлетворяет условиям теоремы 1 поэтому сходимость

(расходимости) ряда Дирихле равнозначна сходимости расходимости интеграла:

Возможны три случая:

1 a >1,

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 0<a<1,

Интеграл и ряд расходится

3 a=1,

Интеграл и ряд расходится

№ 6

1 Двойной интеграл

в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j)

где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j = угол между

векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой

стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j <=2p .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r×cosj , y

= r×sinj .

Якобиан преобразования будет равен:

И формула при переходе примет вид:

2 Признаки сравнения

Т(Признаки сравнения)

Пущай и ряды с неотрицательными членами и для любого n выполняется нер-во:

un<=vn (1)тогда

1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un

2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми

русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из

сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из

расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и

не наоборот!!!

Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех номеров

n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0

неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака

сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или

геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.

Т3 Засекреченная

Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:

(0<k<+¥) тада оба эти ряда сходятся.

№7

1 Вычисление

площади плоской области

с помощью 2ного интеграла

Если Д правильная в направлении оу a<=x<=b, y1(x)<=y<=y2(x), то

Если Д огр линиями в полярных координатах, то

2 Признаки Даламбера и Коши

Т(Признак Далембера)

Пущай для ряда un с положит членами существует предел:

, то

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

Т(Признак Коши)

Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует предел:, тогда

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о

сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут.

Вот.

№8

1 Вычисление объема

с помощью 2ного интеграла

Рассматривая в пространстве тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z =

f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое

криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:

если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен

объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:

z = |f(x,y)|>=0.

тогда

если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1,

f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда:

2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет разные

знаки (один ♀, другой ♂), если считать каждый член сего ряда

положительным то его можно записать в виде:

Т (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:

1) u1>=u2>=u3.>=un>=un+1.

2)

то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам:

0<=S<=un и |rn|<=un+1

Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.

Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-

нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также сходится.

№9

1 Вычисление

площади поверхности

с помощью двойного интеграла.

Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x,y) и имеющая границу Г,

проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области ф-ция

f×(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные: тогда

площадь поверхности Р вычисляется:

для ф-ций вида x = m (y,z) или y = j(x,z) там будут тока букыв в частных

производных менятца ну и dxdy.

2 Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная

сходимость рядов.

Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные числа,

а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть дан ряд:

u1+u2.+un=(1), где un

– может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий

из абсолютных значений этого ряда:

|u1|+|u2|.+|un|=(2),

Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если

ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.

Т. Признак абсолютной сходимости:

Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится, при

этом:

<=

Доквы:

т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6