тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной

величины |Sn|=|u1+u2+.+un|<=|un| " n Î N, то переходя к пределу

получим:

<=

Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же

членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна

сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо

запущенней.

Т(Римана)

Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то каким

бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его сумма

станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка

слагаемых

№10

1 Вычисление массы,

помощью 2ного интеграла.

Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле:

, где r(х, у) – поверхностная плотность.

Координаты центра масс выч по ф-ле:

если пластина однородная, т. е. r(х, у) – const, то ф-лы упрощаются:

Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и ох

Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:

J0=Jx+Jy

если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.

2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз.

последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые

действительные значения.

Пусть задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)} Формальнг написанную

сумму: (2) называют

функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x) – его членами. Аналогично

случаю числовых рядов сумма: Sn(x) = u1(x)+u2(x)+.+un(x) называется частичной

суммой ряда n порядка, а ряд: un+1? un+2. - его n-ным остатком. при каждом

фиксированном х = х0 Î Е получим из (1) числовую последовательность

{fn(x0)}, а из (2) – числовой ряд

, которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то

сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости.

Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при " x Î E f(x) =

назывется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x)

определенная при " x Î Е равенством

S(x)=

называется суммой ряда (2).

Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если

обозначить сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn

(x)

Если ряд (2)

сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-ж Е. Множество всех

точек сходимости функционального ряда наз областью сходимости. Для определения

области сходимости можно использовать признак Даламбера и Коши. С ихнею помашшю

ф-ц ряд исследуется на абсолютную сходимость Например, если существует

и

, то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.

№11

1 Тройные интегралы

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного пространства

задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n произвольных

частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами DV1. DVn В

каждой частичной области возбмем произв. точку М с кооорд Mi(xi,hi,ci) составим

сумму:

f(xi,hi,ci)×DVi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим

за l максимальный диаметр частичной области. Если интегральная сумма при l

à 0 имеет конечный предел, то сей предел и называется тройным интегралом

от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:

2 Равномерная

сходимость функциональных

последовательностей и рядов.

Признак Вейерштрасса.

Ф-циональную последовательность {fn)x)} x Î E наз. равномерно сходящейся

ф-цией f на м-ж Е, если для Î e >0, сущ номер N, такой, что для " т х

Î E и " n >N выполняется ¹-во: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж

{fn)x)} равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем

м-ж. тогда пишут: fn à f.

наз. равномерно

сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится последовательность его

частичной суммы. , т. ен. равномерная сходимость ряда означает:Sn(x) à

f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сходящимся, но всякий

равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это наверное лет 500

выдумывали.)

Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)

Если числовой ряд: (7),

где a >=0 сходится и для " x Î E и " n = 1,2. если выполняется нер-во

|un(x)|<=an(8), ряд

(9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж Е.

Док-вы:

Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости

ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e >0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, " n

>N и вып. нерво

Следовательно: |S(x)-Sn(x)| =

Это означает, что Sn(x) à S(x) что означает равномерную сходимость ряда..

№12

1 Замена переменных

в тройном интеграле.

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно

однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно

дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует

якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:

x=rcosj, y=rsinj, z=z (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,

-¥<=z<=+¥)

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r? j q, связанными с z,y,z формулами

x=rsinq×cosj,

y=r sinqsinj, z=rcosq.

(0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,

0<=q <=2p)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r2×sinq.

Итак, в сферических координатах сие будет:

2 Свойства равномерно

сходящихся рядов

Т1 Если ф-ция un(x), где х Î Е непрерывна в т. х0 Î E и ряд

(1) равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) =

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6