остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой

Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все

они ограниченны одним и тем же числом С, т е " x Î U(x0) |f(

n)(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x)

для всех х из этой окрестности.

№17

1 Формула Грина

Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между

криволинейными и двойными интегралами.

Пусть имеется некоторая правильная замкнутая область Д, ограниченная контуром L

и пущая ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными

производными: в

данной области. тогда имеет место ф-ла:

И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.

Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х =

х1(у), х=х2(у) с<=y<=d x1(y)<=x2(y) или

y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).

Рассмотрим область Д ограниченную неравенствами: a<=x<=b и

y1(x)<=y2(x). и преобразуем двойной интеграл

к криволинейным для чего сведем его к повторному и ф-ле Невтона-Лыебница

выполним интегрирование по у и получим:

каждый из 2

определенных интегралов в правой части последнего равенства = криволинейному

интегралу 2 рода взятому по соответствующей кривой а именно:

Итак двойной интеграл:

Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую

можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных

замкнутых областей.

2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)

1Разложение ф-ции ех

ряд Маклорена.

радиус сходимости:

R=¥ следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

2Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена

сходится на всей числовой оси

сходится на всей числовой оси

3. f(x) = (1+x)a

Наз. биномиальный ряд с показателем a Различают 2 случая:

1- a Î N, тогда при любом х все члены ф-лы исчезают, начиная с (a +2)

поэтому ряд Маклорена содержит конечное число членов и сходится при всех х.

Получается формула Бинома Невтона:

, где биномиальный

коэффициент.

2- a Î R>N (a ¹ 0 х ¹ 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1

4 Разложение ф-ции ln(1+x)

сходится при –1<x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сходится при -1<=x<=1

№18

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода.

1.Интеграл - длине дуги АВ

2.Механический смысл интеграла 1 рода.

Если f(x,y) = r(x,y) – линейная плотность материальной дуги, то ее масса:

для пространственной там буква зю добавляется.

3.Координаты центра масс материальной дуги:

4. Момент инерции дуги лежащей в плоскости оху относительно начала координат

и осей вращения ох, оу:

5. Геометрический смысл интеграла 1 рода

Пусть ф-ция z = f(x,y) – имеет размерность длины f(x,y)>=0 во всех точках

материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:

, где S – площадь

цилиндрической поверхности, кот состоит из перпендикуляров плоскости оху, восст

в точках М(x,y) кривой АВ.

2 Геометрические и арифметические ряды.

№19

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Вычисление площади плоской области Д с границей L

2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается

вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:

при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю.

2 Свойства сходящихся рядов

№20

1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.

Плоская область W наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.

Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны

в некоторой замкнутой, односвязной области W тогда следующие 4 условия

эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.

1. Для " замкнутой кусочногладкой кривой L в W значение криволинейного

интеграла:

2. Для все т. А и т. В области W значение интеграла

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в W.

3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций

определенных в W существует ф-ция E=c(х,у) опред в W такая, что dE = Pdx+Pdy

4. В области W

Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием

при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.

2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле.

№21

1 Интегрирование в полных дифференциалах

Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y)

- непрерывны в замкнутой области W и выражение P(x,y) + Q(x,y) есть полный

дифееренциал некоторой ф-ции F(x,y) в W , что равносильно условию:

, тогда dF=Pdx+Qdy.

Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют обозначение:

или

А(x0,y0) Î l , В = (х,у) Î l

поэтому

F(x,y)=

где (х0,у0) – фиксированная точка Î l, (x,y) – произвольная точка

Î l , с – const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в

подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит

от пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой

параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду.

2 Признаки сравнения

№22

1 Сведение 2-ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая,

параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает

границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в

направлении оси оу.

Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на

отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) =

, наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл :

, наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный

интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных

интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.

2 Признаки Даламбера и Коши

№23

1 2 ной интеграл

в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j)

где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j = угол между

векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой

стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j <=2p .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r×cosj , y

= r×sinj .

Якобиан преобразования будет равен:

И формула при переходе примет вид:

2 Знакочередующиеся ряды признак Лейбница

№24

1 Замена переменных

в тройном интеграле

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно

однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно

дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует

якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:

x=rcosj, y=rsinj, z=z (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,

-¥<=z<=+¥)

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилитндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r? j q, связанными с z,y,z формулами

x=rsinq×cosj,

y=r sinqsinj, z=rcosq.

(0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,

0<=q <=2p)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r2×sinq.

Итак, в сферических координатах сие будет:

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

№25

1 Условия

существования и вычисления криволинейных интегралов

Кривая L наз. гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих её

параметрических уравнений:

(1)

имет на отрезке [a,b] непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой L наз

особыми точками, если они соответствуют значению параметра t Î [a,b] для

которых (j’(t))2+(y’(t))2 = 0 т. е. обе производные

обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными

(ВАУ!).

Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных

точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то

криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы

нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам

сводящим эти интегралы к обычным:

Отседова жа вытекаает штаа:

В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х)

непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:

ну и сумма там тожжа упростица.

ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)

Если АВ задана в криволинейных координатах a <= j <= b где ф-ция r(j)

непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] то имеет место частный случай, где

в качестве параметра выступает полярный угол j. x = r(j)×cos(j),

y= r(j)×sin(j).

и у второго рода так же.

Прямая L наз кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное

число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых

представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по

этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым

составляющим сию кусочно-гладкую кривую.

все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).

2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6