также непрерывна в т. х0.

Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) Î R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд

(3) равномерно сходится на этом отрезке, тогда какова бы ни была т. х0 Î

[a, b] (4) тоже

равномерно сходится на [a,b]. В частности: при x0 = a, х = b:

т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.

Т3 (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) Î R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд её

производных (6)

равномерно сходящийся на отр [a,b] тогда, если ряд

сходится хотя бы в одной точке x0 Î [a,b] то он сходится равномерно на

всем отрезке [a,b], его сумма S(x) =

является непрерывно дифференцируемой ф-цией и

S’(x)= (9)

В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:

()’ =

So ряд (7) можно почленно дифференцировать

№13

1 Приложения

тройных интегралов

Объем тела

Масса тела: , где r(М) = r(x,y,z) - плотность.

Моменты инерции тела относительно осей координат:

Момент инерции относительно начала координат:

Координаты центра масс:

m – масса.

Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz,

Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: r(М) =

const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.

2 Степенные ряды. Теорема Абеля

Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a0+a1x+a

2x2+. + anxn =

(1) x Î R членами которого являются степенные ф-ции. Числа an Î R,

наз коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:

a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2. + an(x-x0)n = (2)

Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в

т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к

ряду (1) по ф-ле у = х-х0.

Т Абеля

1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ¹ 0, то он сходится абсолютно при

любом х, для которого |x|<|x0|.

2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для

которой |x|>|x0|

№14

1 Определение криволинейных

интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К.

Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть Dlk

длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку

N(xk,hk) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную

суммы:

d1 = f(xk,hk)×Dlk

d2 = Р(xk,hk)×Dхk

d3 = Q(xk,hk)×Dyk,

где Dхk = xk-xk-1, Dyk = yk-yk-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел

интегральной суммы d1 при условии, что max(Dlk) à 0

Если предел интегральной суммы d2 или d3 при l à 0, то этот предел наз.

криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и

обозначается:

или

сумму: +

принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:

в этом случае ф-ции

f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама

кривая l наз контуром или путем интегрирования А – начальной, В – конечной

точками интегрирования, dl – дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный

интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода –

по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не

зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая

l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

, для криволинейных

интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой ведет к изменению

знака:

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух

возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то

направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по

отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой

стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным.

Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит

направлении будем обозначать символом:

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

и три интеграла 2 рода:

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд:

(1) Число (конечное

или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда (1) если для любого х

такого, что |x|<R ряд (1) сходится, а для " х таких. что |x|>R ряд

расходится Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т.

е. (-R, +R) наз. интервалом сходимости.

Т1 Для всякого степенного ряда (1) существует радиус сходимости R

0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сходится

абсолютно

Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сходимости: |x-x0<R|

будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R? то ряд сходится в т. x абсолютно

иначе расходится. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или

x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сходимости решается индивидуально. У

некоторых рядов интервал сходимости может охватывать всю числовую прямую при R

= +¥ или вырождаться в одну точку при R = 0.

Т2 Если для степенного ряда (1) существует предел (конечный или бесконечный):

, то радиус сходимости будет равен этому пределу.

Док-вы: Рассмотрим ряд из абсолютных величин

и по Даламберу исследуем его на сходимость:

(5)

1)Рассмотрим случай, когда

конечен и отличен от 0. Обозначив его через R запишем (5) в виде

При числовом значении х степенной ряд становится числовым рядом, поэтому по

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6