Даламберу ряд (1) сходится если |x|/R<1, т. е. |x|<R, тогда по признаку

абсолютной сходимости ряд (1) сходится абсолютно при |x|<R иначе ряд

расходится.

2)Пусть = ¥

тогда из(5) следует, что

для любого х Î R Итак ряд (1) сходится при любом х причем абсолютно.

3) Пусть =0 тогда из

(5) следует, что и

ряд расходится для любого х. Он сходится только при х = 0 В этом сл-е R = 0.

Т3 Если существует предел конечный или бесконечный , то (10)

№15

1 условия

криволинейных интегралов.

Кривая L наз. гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих её

параметрических уравнений:

(1)

имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой L наз

особыми точками, если они соответствуют значению параметра t Î [a,b] для

которых (j’(t))2+(y’(t))2 = 0 т. е. обе производные

обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными

(ВАУ!).

Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных

точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то

криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы

нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам

сводящим эти интегралы к обычным:

Отседова жа вытекаает штаа:

В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х)

непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:

ну и сумма там тожжа упростица.

ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)

Если АВ задана в криволинейных координатах a <= j <= b где ф-ция r(j)

непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] то имеет место частный случай, где

в качестве параметра выступает полярный угол j. x = r(j)×cos(j),

y= r(j)×sin(j).

и у второго рода так же.

Прямая L наз кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное

число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых

представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по

этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым

составляющим сию кусочно-гладкую кривую. все выше сказанное справедливо и для

пространственной кривой (с буквой зю).

2 Свойства степенных рядов

Т1 Если степенной ряд

(1) имеет радиус сходимости R>0, то на любом отрезке действительной оси вида

|x|<=r, 0<r<R (2) (или [-r,r]) целиком лежащем внутри интервала

сходимости ряд (1) сходится равномерно.

Для ряда отрезком

равномерной сходимости будет отрезок |x-x0|<=r или ([x0-r,x0+r])

Т2 На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Т3 Радиусы сходимости R, R1, R2 соответственно рядов×

(5), (6),

(7) равны: R1=R2=R3. Итак ряды (6) и (7) полученные с помощью формального

интегрирования и дифференцирования имеют те же радиусы сходимости, что и

исходный ряд.

Пусть ф-ция f(x) является суммой степенного ряда (9)

Т4 Дифференцирование степенного ряда

Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда (9), то она

дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится

дифференцированием ряда (9):

f’(x)= При этом радиус сходимости полученного ряда = R

Т5 О интегрировании степенного ряда

Степенной ряд (9) можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком

принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет

тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

Последовательное применение Т4 приводит к утверждению, что ф-ция f имеет на

интервале сходимости производные всех порядков, которые могут быть найдены из

ряда (9) почленным дифференцированием. При интегрировании и дифференцировании

степенного ряда внутри интервала сходимости радиус сходимости R не меняется,

однако на концах интервала может изменяться.

№16

1 Свойства

криволинейных интегралов

Св-ва криволинейных интегралов 1 рода:

1.Константа выносится за знак интеграла, а интеграл суммы можно представить в

виде суммы интегралов:

2. Если дуга АВ состоит из двух дуг Ас и Св не имеющих общих внутренних точек

и если для ф-ции f(x,y) сущ криволинейный интеграл по АВ, то для для сей ф-

ции сущ криволинейные интегралы по АС и по ВС причем:

3.

4.Ф-ла среднего значения

если ф-ция f(x,y) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется

точка М, такая, что:

, где l – длина кривой

Криволинейный интеграл 2 рода обладает всеми свойствами интегралов 1 рода, и

исчо при изменении направления прохождения кривой он меняет знак. .И вапще

все сказанное выше справедливо и для пространственной кривой (этта та которая

с буквой зю)

2 Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть(1) сходится при

|x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)=

(2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1) .

Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то

и справедлива формула:

(15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной

ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой

точке производные всех порядков, тогда ряд:

(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0

При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6’) и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расходится всюду, кроме х=х0

2 Сходится, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сходится к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является

необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является

достаточным. Для введения дополнительных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) раз дифференцируема на интервале (x0-h, x0+h) h>0,

то для всех x Î (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток rn(x) можно записать:

(8)

(9) Формула (8) наз

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6