*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -

*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с, что

h’(x)=0 => f’(c) -

*g’(c) или f’(c) =

*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)¹0) получаем требуемое

равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом

промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что

Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем:

Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+q(b-a), где

qÎ(0;1). Тогда принимая x0=a, (b-a)=h, мы получаем следующее

следствие:

Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x0

ÎI, x0+hÎI, тогда $ qÎ(0;1): f(x0+h)-f(x

0)=f’(x0+qh)*h ([x0;x0+h] h>0, [x

0+h;x0] h<0)

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN

-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®aN

и n®kN получа ем посл-ть aKn-которая наз. подпосл-тью

посл-ти aN=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная

посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число

членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0

|аN-а|<Е, ввиду того что kN®¥ существует и такое

n’, что при всех n>n’ kN>n0 тогда при тех же

значениях n будет верно |аKn-а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности

можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: хN - ограничена => "n: а£хN

£b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине

содержится бесконечное множество членов посл-ти хN (в противном

случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что

невозможно). Пусть [а1,b1] - та половиа, которая

содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а

1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий

бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до

бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [аK,bK

]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти хN.

Длина к-того промежутка равна bK-аK = (b-a)/2

K, кроме того она стремится к 0 при к®¥ и аK³аK+1

& bK£bK+1. Отсюда по лемме о вложенных

промежутках $! с: "n аN£c£bN.

Теперь построим подпоследовательность:

хN1 Î[а1,b1]

хN2 Î[а2,b2] n2>n1

. . .

хNKÎ[аK,bK] nK>nK-1

а£хNk£b. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.

xN - ограниченная последовательность =>"n аN£хN£bN

хNK®х, так как хNK-подпоследовательность => "n а£хN£b =>а£х£b

х - частичный предел последовательности хN

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (а£М£b) => $ SupM & $ InfM

Верхним пределом посл-ти xN называют SupM¹Sup{xN}: пишут Lim xN

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM¹Inf{xN}: пишут lim xN

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть х

NK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу хN.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN

$ х’ÎМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ÎМ =>

$ подпоследовательность хNS®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к)

$ s0: "s>s0 =>

х’-1/к<хNS<х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<хNS<х+1/к

Берем к=1: х-2<хNS<х+1, т.е $ s0: "s>s0

это неравенство выполняется берем член посл-ти хNS с номером больше s

0 и нумеруем его хN1

k=1: х-2/1<хN1<х+1/1

k=2: х-2/2<хN2<х+1/2 n1<n2

...

k=k: х-2/к<хNK<х+1/к nK-1<nK

При к®¥ хNK®х

13.Фундаментальные последовательности.

Определение: Последовательность {аN} - называется

фундаментальной, если "Е>0 $ n0: "n>n0 и любого

рÎN выполнено неравенство |аN+р-аN|<Е.

Геометрически это означает что "Е>0 $ n0, такой что расстояние

между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами,

меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть

сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда "Е>0 $ n0: "n>n

0 |хN-х|<Е/2. n>n0, n’>n0 |х

N-хN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN

-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть хN - фундаментальная

1) Докажем что хN ограничена: Е1=1998 $ n0: |хN-хN’|<Е, n>n0, n’>n0

"n>n0 |хN-хN0|<Е1 х N0-1998<хN<х N0+1998 => хN - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

$ подпосл-ть хNK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы

|хNK-х|<Е/2 и одновременно nк>n0.

Следовательно (из фунд-ти) |хN-хNK|<Е/2 =>

|хNK-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK<х+Е/2 => |хN-хNK|<Е/2 => хNK-Е/2<хN<хNK+Е/2 => х-Е<хN<х+Е => |хN-х|<Е

14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

nÎN

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*: к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)0=1 =>(1+х)0 =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

=

Ч.т.д

16.Последовательности (во всех пределах n®¥)

1) Lim= 0 (p>0)

- это означает что, мы нашли такое n0=: "n>n0 ||<E

2) Lim=1

xN= - 1

=1+xN

n=(1+xN)n

n=

xN2<2/(n-1)

При n®¥ ®0 => xN®0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim=Lim (1+xN)=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.

xN=; yN=; zN=yN +

xN монотонно возрастает: докажем:

xN=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +...

< 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = yN => yN<zN

<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)n³1+nx, x>-1)

(доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)n³1+n/n=2

Получили: 2 £ xN<3 => xN - ограничена,

учитывая что xN - монотонно возрастает => xN -

сходится и ее пределом является число е.

17. Последовательности (во всех пределах n®¥)

1) Lim=1, a>0

a) a³1:

xN=xN+1==> $ Lim xN=x

xN+1=xN *

xN=xN+1 *

xN=xN+1*xN*(n+1)

Lim xN=Lim (xN+1*xN*(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0<a<1 b=1/a xN=

Lim=1 b=1/a =>= 1/=> Lim= 1/1 = 1

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6