достигает верхней

граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xÎ[a,b]} доказывается

аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: "Е>0 $ d>0: "х’,х”: |х’-х”|<d =>

|f(x’)-f(x”)|<Е => функция называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то

здесь d не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0:

$ х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|³Е>0

Рассмотрим множество , IÍDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется

колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf(d) = +¥; Sin x - Wf(d) = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому:

"Е>0 $ d>0: Wf(d)£Е Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”:

|х’-х”|<d=>|f(x’)-f(x”)|³Е. Возьмем d =1/к, кÎN $хK

, х’KÎ[a,b]: |хK-х’K|<1/к |f(xK

)-f(x’K)|³E

Т.к хK - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса

можно выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем:

|хKs-х’Ks|<1/к

хKs-1/k<х’Ks<хKs-1/k по Лемме о зажатой

посл-ти х’Ks®х0 kS®¥ |f(xKs

)-f(x’Ks)|³E кS®¥ => 0³E - противоречие с

условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x0 к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х

соединим x0 и х - получим секущую. Касательной назовем предельное

положение секущей при х®x0, если это предельное положение

существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x0,f(x0

) => уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x

0)+f(x0). Необходимо только опр-ть наклон k

касательной. Возьмем произвольное число Dх¹0 так, чтобы x0

+DхÎХ. Рассмотрим секущую МОМ, МО(x0,f(x

0)), М(x0+Dх,f(x0+Dх)). Уравнение секущей имеет вид:

у=к(Dх)(х-x0)+f(x0), где k=f((x0+Dх)-f(x0

))/Dх - наклон секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве

искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=¥ при Dх®0,

то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x0))+x0

перейдя к пределам при Dх®0, получим x=x0 (Lim x=Lim x0

Dх®0 => x = Lim x0)

Определение: Производным значением функции f в точке х0

называется число f’(х0)=Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/

Dх x®x0, если этот предел существует.

Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке

(x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0

)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+Dх)-f(x

0))/Dх=¥ Dх®0, то пишут f`(x0)=¥ касательная в этом

случае вертикальна и задается уравнением х=x0. f`(x0

)=lim(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх x®x0=>(f(x0

+Dх)-f(x0))/Dх=f’(x0)+a(x), a(x)®0 при x®x0.

f(x0+Dх)-f(x0)=f`(x0)*Dх+a(x)*Dх учитывая, что

x0+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0) получим

f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0).

Необхо димо заметить, что o(x-x0) уменьшается быстрее чем (x-x0

) при x®x0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0

)

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0

если $сÎR: в некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0

)+f(x0)+o(x-x0)

Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 <=> $ f’(x0)

Доказательство:

<=: f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => f`(x0)=C

=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) =>

(f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x-x0

)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0.

Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x

0)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по

определению C=f`(x0)

Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0,

то линейная функция Dх®f’(x0)*Dх называется дифференциалом функции f

в точке x0 и

обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x

0):Dх®f`(x0)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0)=f’(x0

)*dх => df(x0)/dх: Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f’(x0)

при Dх¹0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх

- обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной

переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.

Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x

0)®f(x0) при x®x0 => f непрерывна в точке x0

.

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая

перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что

тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)=

-Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x0

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда

ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x0)¹0) дифференцируемы в точке x

0 и:

1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)

2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)

3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2

Доказательство:

1) Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)

Dg(x0)=g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)=Df(x0)+Dg(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0

+Dx)-g(x0))/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx+(g(x0

+Dx)-g(x0))/Dx®f’(x0)+g’(x0) при Dx®0

2) D(f*g)(x0)=f(x0+Dx)*g(x0+Dx)-f(x0

)*g(x0)=(f(x0)+Df(x0))*(g(x0)+D(x

0))-f(x0)*g(x0)=g(x0)*Df(x0

)+f(x0)*Dg(x0)+Df(x0)*Dg(x0)

D(f*g)(x0)/Dx=g(x0)*(Df(x0)/Dx)+f(x0

)*(Dg(x0)/Dx)+(Df(x0)/Dx)*(Dg(x0)/Dx)*Dx®f’(x

0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при Dx®0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в

точке x0 => "Е>0 (Е=|g(x0)|/2) $d>0: |Dx|< d

=> |g(x0+Dx)-g(x0)|<|g(x0)|/2.

g(x0)-|g(x0)|/2<g(x0+Dx)<g(x0

)+|g(x0)|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|Dx|<d) видим что

g(x0+Dx)¹0.

Рассмотрим разность (1/g(x0+Dx)-1/g(x0))/ Dx = -(g(x0

+Dx)-g(x0))/Dx*g(x0+Dx)*g(x0) ® -g’(x0

)/g(x0)2 при Dx®0

(f/g)’(x0)=(f*1/g)’(x0) => (2) = f’(x0

)*1/g(x0)+f(x0)*(1/g)’(x0)=f`(x0

)*1/g(x0)+f(x0)*(-g’(x0)/g(x0)2

)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x

0)2

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x0) = Cos (x0)

2) Cos’(x0) = -Sin (x0)

Доказательство:

1) Df/Dx=(Sin(x0+Dx)-Sin(x0))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) *

Cos(x0+Dx/2) ® Сos x0 при Dx®0

2) Dg/Dx=(Cos(x0+Dx)-cos(x0))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x

0+Dx/2) ® -Sin x0 при Dx®0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos

по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x0, а ф-ция f диф-ма в

точке y0=g(x0), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x

0 и h’(x0)=f`(y0)*g’(x0)

Доказательство:

Dy=y-y0, Dx=x-x0, Df(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx), y=g(x0+Dx)

Dh(x0)=f(g(x0+Dx))-f(g(x0))=f(y)-f(y0

)=f’(y0)*Dy+o(Dy)=f’(y0)*(g(x0+Dx)-g(x0

))+o(Dg)==f’(y0)*(g’(x0)*Dx+o(Dx))+o(Dy)= f’(y0

)*g’(x0)*Dx+f’(y0)*o(Dx)+o(Dy)

Dh(x0)/Dx=f’(y0)*g’(x0)+r, r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx

r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y0

)*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y0)*a(x)+a’(x)*Dy/Dx®f’(y0

)*0 + 0*g’(y0) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)

Производная:

1) xa=a*xa-1

Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)a-xa)/Dx = Lim xa-1*

((1+Dx/x)a-1)/Dx/x. Используя замечательный предел x®0 Lim ((1+x)

a-1)/x=a, получим Dx®0

Lim xa-1*Lim((1+Dx/x)a-1)/Dx/x = a*xa-1

2) (aX)’=aX*Ln a (x®aX)’=(x®eX*Ln a)’

x®eX*Ln a - композиция функций x®еX и x®x*Ln a обе

непрерывны на R => (x®aX)’=(x®е X*Ln a)’=(x®еX

*Ln a)’*(x®x*Ln a)’=aX*Ln a

Д-во : (eX)’=eX

Lim(Dy/Dx)=Lim(eX+DX-eX)/Dx=Lime

X*(eDX-1)/Dx, используя зам-ный предел при x®0 Lim(e

X-1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=eX

3) (LogA(x))’=1/x*Ln a

Lim(Dy/Dx) = Lim (LogA(x+Dx) - LogA(x))/Dx = Lim 1/x*Log

A(1+Dx/x)/Dx/x, используя замечательный предел при x®0 Lim LogA

(1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim LogA(1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в

точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0

=f(x0)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в

(а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно

отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0Î(a,b) и

f’(x0)¹0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и

g’(y0)=1/f’(x0)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN

®y0, yN¹y0 => $ посл-ть xN:

xN=g(yN), f(xN)=yN

g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-x

O/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO

)/xN-xO ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN

®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO

®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)

Производные:

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что

Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к.

Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит

Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)

1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x2

4) x®Arcctg’x= -1/1+x2

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO

, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO

или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется

второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и

обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и

так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) -

производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0

(xO)=f(xO).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы

существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO

(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f

N-1(x) непрерывна в точке xO, а при n³2 все производные

порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO

называют функцию dх®fN(x)*dх и обозначают dNf(x). Таким

образом dNf(x):dх®fN(x)dxN.

Так как fN(x)dхN:dх®fN(x)dxN, то d

Nf(x)=fN(x)dхN. В силу этого соотношения производную fN

(x) обозначают также dNf(x)/dхN

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию

у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная

у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx.

Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t):

dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх -

видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может

быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого

дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию

у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная

у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме

dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2

y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла

dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2

x+y’(x)*d2x, в то время как при независимой переменной х второй

диф-ал имел вид д2y=у’(х2)*dx2x =>

неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x)

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х

- получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые

произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком

произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0

*vN+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0

N=1. Произведение uN+1*v0 входит только в первую

сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные произведения

входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое

произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k.

Сумма соотв. коэффициентов будет

=>

получаем fN+1(x)=u0*vN+1++ uN+1*v0=

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в

открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть x£b, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем:

f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0<q<1 => т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b),

то f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хÎ(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в

открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=>

f’(x)³0(f’(x)£0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго

возрастает(убывает) в [a;b].

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”Î(a;b), тогда по теореме Лагранжа

(f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), сÎ(x’,x”). По условию имеем

f’(x)³0(f’(x)£ 0) в (a;b) => f’(c)³0(f’(c)£ 0) =>

f(x”)³f(x’)( f(x”)£f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом

смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие

получим (2).

Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f.

f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то x

O-экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума: (+)®xO®(-) => локальный min, (-)®x

O®(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство

Определение: Множество М выпукло <=> если " А,ВÎМ [А,В]ÌМ

[А,В]ÌМ => [А,В]={А+t(В-А):tÎ[0,1]} => А(1-t)+tВÎМ

[А,В]ÌМ => А,ВÎМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1,l2³0 => l1А+l2ВÎМ

Рассмотрим точки: А1,А2,...АNÎМ l1,l2³0 S(i=1,n): lI = 1

Докажем что S(i=1,n): lI*АI ÎМ

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) lN=1 => приравниваем l1=...=l N-1=0 => верно

б) lN<1 l1*А1 +...+ lN-1*А

N-1 + l N*А N= (1-l N)((l1

/1-l N)*А1+...+(lN-1/1-l N)*А

N-1) + l N*А N = (1-l N)*B + l N

*А N

BÎМ - по индуктивному предположению А NÎМ - по условию=>(1-l N)*B + l N*А N ÎМ Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хÎDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: АIÎМ lI³0 S(i=1,n): l

I =1 => S(i=1,n): lI*АI ÎМ, xI

³0, f(xI)£yI => S(i=1,n): lI*А

I = (SlI*xI;SlI*yI) => f(Sl

I*xI)£SlI*yI

Неравенство Йенсена: АIÎМ lI³0 SlI =1f(SlI*xI)£SlI*f(xI)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия

эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO

,x”Î(a;b) x’<xO<x” =>

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)£(f(x”)-f(xO))/(x”-x

O). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей

растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)³(f(xO)-f(x’))/(x

O-x’) => y³f(xO); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-xO

)£(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>y£f(xO

)

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)£(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)

“<=”

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6