Сos1£Lim (Sin x)/x£1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2

28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 -

называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее

между f(а) и f(b), тогда существует х0Î[a,b]: f(х0

)=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая

х0=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х0)=f(х0

)-с=0 => f(х0)=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не

обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а

1)*g(b1)<0, делим его пополам если в точке деления функция

g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция

g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот

для которого g(а2)*g(b2)<0... продолжая процесс до

бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в

ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число

вложенных друг в друга промежутков. Для n-го промежутка [aN

,bN] будем иметь: g(aN)<0, g(bN)>0,

причем длина его равна bN-aN=(b-a)/2n®0 при

n®¥. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о

вложенных промежутках => $ точка x0 из промежутка [a,b], для

которой Lim aN=Lim bN= x0. Покажем, что x

0-удовлетворяет требованию теоремы: g(aN)<0, g(bN

)>0 => переходим к пределам: Lim g(aN)£0, Lim g(bN

)³0, используем условие непрерывности: g(x0)£0 g(x0

)³0 => g(x0)=0 => f(х0)-c=0 => f(х0

)=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество

У=f(Х)={f(х):хÎХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево

дит промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у1,у2ÎУ; у1

£у£у2, тогда существуют х1,х2

ÎХ: у1=f(х1), у2=f(х2).

Применяя теорему к отрезку [х1,х2]ÍХ (если х

1<х2) и к отрезку

[х2,х1]ÍХ (если х2<х1)

получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению

промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется

функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления

ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim

f(g(x))=f(b) (при x®a)

Доказательство:

Пусть xN: xN¹a - произвольная посл-ть из области

определения ф-ции х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN

: yN=g(xN) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim

f(yN)=f(b) (n®¥) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне.

Т.о. Lim f(g(xN))=Lim f(yN)=f(b) (n®¥). Заметим что в

посл-ти yN - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b.

Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения yN¹b

в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN)®f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x0, а функция f

непрерывна в точке у0=g(x0), тогда ф-ция f(g(x))

непрерывна в точке х0.

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у

однозначно разрешимо относительно уÎf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция

однозначно сопоставляющая каждому уо такое х0 что f(х0)=у

0 - называется обратной к функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена

и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго

убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по

следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения

непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для

каждого значения у0 из этого промежутка найдется хоть одно такое

значение х0ÎХ, что f(х0)=у0. Из

строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно:

если х1> или <х0, то соответственно и f(х1

)> или <f(х0). Сопоставля именно это значение х0

произвольно взятому у0 из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у)

- обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно

возрастает. Пусть y’<y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f

=> у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с

условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0)

при у®у0. Пусть f`(у0)=х0. Возьмем произвольно

Е>0. Имеем "уÎУ: |f`(у)-f`(у0)|<Е <=> х0

-Е<f`(у)<х0+Е <=> f(х0-Е)<у<f(х0

+Е) <=> f(х0-Е)-у0<у-у0<f(х0

+Е)-у0 <=> -d’<у-у0<d”, где d’=у0

-f(х0-Е)>у0-f(х0)=0, d”=f(х0+Е)-у

0>f(х0)-у0=0,

полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у0|<d => -d’<у-у0<d” <=> |f`(у)-f`(у0)|<Е

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция х

M/N - где mÎZ, nÎN. Очевидно степенная функция явл-ся

cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций хM и

х1/M => ф-ция хM/N - непрерывна при х>0. Если х=0,

то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию хN, nÎN: она непрерывна так как равна

произведению непрерывных функций у=х.

n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N=1/хN, учитывая что:

1) 1/х - непрерывная функция при х¹0

2) хN (nÎN) - тоже непрерывная функция

3) х-N=1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х¹0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N -

непрерывная при х¹0, т.о. получили что хMmÎZ -

непрерывная ф-ция при х¹0. При х>0 ф-ция хN nÎN строго

монотонно возрастает и ф-ция хNнепрерывна=>$ функция обратная

данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой

функцией будет функция х1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и

строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные

тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел:

Функция вида аX, а>0, а¹1 xÎQ.

Свойства: для mÎZ nÎN

1) (аM)1/N = (а1/N)M

(аM)1/N=(((а1/N)N)M)1/N = ((а1/N)N*M)1/N = (((а1/N)M)N)1/N = (а1/N)M

2) (аM)1/N=b <=> аM=bN

3) (аM*K)1/N*K=(аM)1/N

(аM*K)1/N*K=b <=> аM*K=bN*K <=> аM=bN <=> (аM)1/N=b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если

обозначить: aM/N=(аM)1/N=(а1/N)

M, a-M/N=1/aM/N, а0=1

Св-ва: x,yÎQ

1) aX * aY = aX+Y

aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/a

K/N = b => aM/N = b * aK/N => aM =

bN * aK => aM-K = bN => a

(M-K)/N = b => aX+Y = b

2) aX/aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

(aX)Y=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N)K/S

=b => (aM/N)K=bS => (a1/N)

M*K=bS => (aM*K)1/N=bS

=> aM*K=bS*N => a(M*K)/(S*N)=b => a

X*Y=b

4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность

z=y-x>0; aY=aZ+X => aY-aX=aZ+X-aX=aX*aZ-aX=aX*(aZ-1) => если aZ>1 при z>0, то aX<aY.

z=m/n => aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x®0 aX®1 (xÎR)

Т.к. Lim a1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N

=Lim1/a1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0: "n>n0

1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь

|x|<1/n0, то

a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел:

Функция вида аX, а>0, а¹1 xÎR.

Свойства: x,yÎR.

1) aX * aY = aX+Y

xN®x, yN®y => aXn * aYn = a

Xn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn

=> Lim aXn * lim aYn = Lim aXn+Yn => a

X * aY = aX+Y

2) aX / aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

xN®x, yK®y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n®¥) (aX)Yk=aX*Yk =>(k®¥) (aX)Y=aX*Y

4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’ÎR; xN®x x’N®x’ xN,x’NÎQ => xN<x’N => aXn < aX’n => (n®¥) aX£aX’- монотонна

x-x`>q>0 => aX-X’ ³ aQ>1 => aX-X’¹1 => aX<aX’ - строго монотонна

5) при x n®0 aX ®1

Т.к. Lim a1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N

=Lim1/a1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0: "n>n0

1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь

|x|<1/n0, то

a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)

6) aX - непрерывна

Lim aX=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность aX в

точке 0 => aX-aXo= aXo(aX-Xo -

1) при х®x0 x-x0 n®0 => aX-x0

n®1 => при х®x0 lim(aX - aXo)=

Lim aXo*Lim(aX-Xo - 1) = x0 * 0 = 0 => aX - непрерывна

33.Предел функции (1+x)1/X при x®0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)1/X = e при x®0

У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n®¥

Лемма: Пусть nK®¥ nKÎN Тогда (1+1/nK)Nk®e

Доказательство:

"E>0 $k0: "n>n0 0<e-(1+1/n)n<E => nK®¥ $ k0: "k>k0 => nK>n0 => 0<e-(1+1/nk)Nk<E

Lim (1+xK)1/Xk при x®0+:

1/xK=zK+yK, zKÎN =>

0£yK<1 => (1+1/zK+1)Zk<(1+x

K)1/Xk < (1+1/zK)Zk+1=(1+1/zK

)Zk*(1+1/zK)=>(1+1/zK+1)Zk=(1+1/z

K+1)Zk+1)/(1+1/zK+1) => (1+1/zK+1)

Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk <

(1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®¥ учитывая, что:

(1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => получаем:

e£Lim (1+xK)1/Xk£e => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+

Lim (1+xK)1/Xk при x®0-:

yK=-xK®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e при x®0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x®0

2) n®¥ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX

3) x®xa aÎR - непрерывна

xa=(eLn x) a=ea*Ln x

непр непр непр непр

x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x

4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1

4’) x®0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a

5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a

6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x)

-1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в

каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на

этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее

значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xÎ[a,b]}. Если f не ограничена сверху на

[a,b], то m=¥, иначе mÎR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть

(сN), такую что Lim cN=m. Т.к. "nÎN: cN

<m то $ xNÎ[a,b]: cN<f(xN)£m.

xN - ограничена => $ xKn®a. Т.к. a£xКn

£b => aÎ[a,b].

Для mÎR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен

пределу посл-ти получаем cKn®m.

Для m=+¥ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб

посл-тью получаем cKn®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn

<f(xKn)£m, получим

Lim f(xKn)=b n®¥, но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(x

Kn)=f(a) => f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6