— количество испытаний (случайных выборок).

Рис.8.6

Для двойного интеграла метод Монте-Карло дает следующую формулу интегрирования:

(8.12)

где — оценка для случайных выборок;

— независимые случайные числа на отрезках

Метод Монте-Карло, как и классические методы, дает приближенные результаты.

Погрешность метода Монте-Карло

(8.13)

В отличие от классических методов эта погрешность не зависит от вида

подынтегральной функции и от кратности интеграла. Заметим, что ошибку можно

сделать сколь угодно малой, либо увеличивая число испытаний

, либо применяя дополнительно методы существенной выборки или случайного

блуждания (интересующихся этим вопросом отсылаем к теории вероятностей).

8.4 Примеры

Пример 1. Вычислить интеграл

по формуле трапеций, разделив отрезок

на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений.

Оценим ошибку метода. Для этого найдем вторую производную подынтегральной

функции:

На отрезке всюду

положительна, причем ее значение ограничено сверху:

Таким образом, используя формулу (8.7.б)

имеем:

полагая , получим

Итак, приняв на заданном участке интегрирования

мы сможем получить интеграл от заданной функции с погрешностью, не превышающей

0,001375, если будем вести вычисления таким образом, чтобы погрешность

округления не исказила окончательный результат в пределах точности метода.

В соответствии с формулой трапеций (8.3) и учетом рассчитанной ошибки получим

Пример 2. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле Симпсона при том же

числе отрезков разбиения

Для оценки остаточного члена найдем производную четвертого порядка от

подынтегральной функции

Значение на отрезке

ограничено числом 14. Используя формулу (8.7.в), получаем оценку:

Приведем полученный результат в соответствии с оценкой

Сравнивая этот результат со значением интеграла, полученным в примере 1,

заметим, что при одинаковом числе отрезков разбиения формула Симпсона дает

ответ с большим числом верных знаков.

Посмотрим, как можно было бы воспользоваться в данном случае формулой (8.7.в).

Пусть требуется найти значение заданного интеграла с точностью

Тогда по формуле (3.7.в) получим:

Отсюда

Следовательно, для достижения точности

достаточно было разбить отрезок

на 9 частей.

Пример 3. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле Симпсона

методом повторного счета.

В 8.2.4 уже отмечалось, что существует прием, позволяющий не делать

рассмотренную выше оценку точности вычисления. А именно: искомый интеграл

вычисляется дважды. Для оценки погрешности, например, метода трапеций при этом

может использоваться простая формула. Пусть

и — погрешности

интегрирования по формуле трапеций соответственно при

и отрезках

разбиения. Учитывая приведенную оценку, можно составить равенство

отсюда следовательно,

Полученная формула удобна для практической оценки погрешности метода

трапеций, но требует двойного счета (аналогично получаются формулы и для всех

остальных рассмотренных методов). Из оценочных формул (8.7) следует, что

ошибка интегрирования уменьшается с уменьшением шага интегрирования. На

основании этого хотелось бы сделать вывод, что при последовательном

увеличении числа отрезков разбиения мы будем получать значения интеграла все

более и более близкие к истинному. Но в процессе практических вычислений при

последовательном удвоении числа отрезков разбиения начинает сильно

увеличиваться удельный вес ошибки округления, значение которой с некоторого

момента ставит предел достижимой точности результата интегрирования. Итак,

если требуемая точность не достигается, в программе должен предусматриваться

повторный счет с шагом, уменьшенным вдвое. Схема соответствующего алгоритма

приведена на рисунке 8.7.

В блок-схеме буквами и обозначены концы отрезков интегрирования;

— точность расчета;

— первоначальное число отрезков разбиения.

ввод a, b, eps, n

J(n) = 0

h = (b - a)/n, S = (f(a) - f(b))/2

x = a + h

S = S + 2f(x) + f(x + h)

x = x + h

x < b да

нет

M = J(n) - J(2n), J(n) = J(2n)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7