быть сколь угодно большой. Например, для

имеем и

при

9.2 Применение интерполирования

Многие формулы численного дифференцирования можно получить как следствие

интерполяционных формул. Для этого достаточно заменить функцию

ее интерполяционным многочленом

и вычислить производные многочлена

, используя его явное представление. Рассмотрим разбиение отрезка

на частей:

и обозначим через

шаги этого разбиения. В качестве примера получим формулы численного

дифференцирования, основанные на использовании многочлена Лагранжа

построенного для функции

по трем точкам

Многочлен имеет вид

Отсюда получим

Это выражение можно принять за приближенное значение

в любой точке Его

удобнее записать в виде

где В частности, при получим

и если разбиение равномерное,

то приходим к центральной разностной производной,

При использовании интерполяционного многочлена первой степени точно таким же

образом можно получить односторонние разностные производные

Далее, вычисляя вторую производную многочлена

получим приближенное выражение для

при

При равномерном разбиении это выражение совпадает со второй разностной

производной Для

приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочлена

надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число

узлов, участвующих в аппроксимации.

Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного

многочлена, так и от расположения узлов интерполяции. Приведем выражение для

погрешности аппроксимации, возникающей при замене

выражением

где

Отсюда видно, что

аппроксимирует со

вторым порядком. Хуже обстоит дело с аппроксимацией второй производной:

Здесь даже при равномерном разбиении второй порядок аппроксимации имеет место

лишь в точке а

относительно других точек (например, точек

и ) выполняется

аппроксимация только первого порядка.

9.3 Контрольные вопросы

1. Что называется левой, правой и центральной разностными производными? Какой

порядок аппроксимации обеспечивают разностные производные?

2. Почему операцию вычисления разностных отношений называют некорректной?

3. Как строятся формулы численного дифференцирования, основанные на

применении интерполяционного многочлена?

4. Какой порядок аппроксимации обеспечивают эти формулы численного

дифференцирования?

9.4 Задание к лабораторной работе № 9

1. Составить программу и вычислить на ЭВМ производную заданной функции на

отрезке с

точностью . Сравнить точность

полученных результатов с точными значениями производной .

2.Вычислить производную заданной функции используя интерполяционный

многочлен. Сравнить с точными значениями производной.

Номер варианта	Функция	Отрезок
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7