определяло y/ как неявную функцию переменных x и y, так как

выполнялось условие

.

Предположим теперь, что в области D, где ищется решение дифференциального

уравнения, выполняется условие

. В этом случае уравнение F(x,y,y/)=0 определяет y/ как

неявную функцию от x и y, т.е. можно считать y/=f(x,y) или даже явно

выразить y/ через x и y в виде y/=f(x,y). Тогда особое

решение будет связано с нарушением условий приведенной выше в параграфе 3,

теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального

уравнения.

Таким невыполнимым условием, обычно, берется условие Липшица, и геометрическое

место точек, в которых оно нарушается, задается условием

или, считая ,

условием .

Пример 3. Рассматривается дифференциальное уравнение

(сравните с примером 2). Здесь

. Так как , то

дискретная кривая отсутствует. Из

и условия , находим,

что в точках кривой y=0, являющейся осью Ox, нарушается условие теоремы Коши.

Следовательно, эта кривая y=0 может быть особым решением. Остается проверить,

что она удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и что в ее точках

нарушается условие единственности прохождения интегральной кривой. Общее

решение данного уравнения имеет вид

, т.е. такой же, как и в примере 2. Разбирая пример 2, выполнимость обоих

условий была проверена. Следовательно, решение y=0 действительно является

особым.

Пример 4. Дано уравнение .

Для него , т.е.

дискретной кривой нет. Из

и условия , получаем

точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному

уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие

семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых

интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой

точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой

точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той

интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке

M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а

именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

.

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка,

из тождества вытекает

.

Покажем, что .

Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x0

=x(t0), y0=y(t0) при t=t0 равен

.

Уравнение Ф(x,y,c0)=0, где c0=c(t0), задает

интегральную кривую семейства, проходящую через точку M0(x0

, y0). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в

точке M0(x0, y0) равен

, где уравнение

данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c0)=0, как неявное

задание уравнения

интегральной кривой, значение

найдем из соотношения

, предполагая .

Из получаем и

или

.

Таким образом, для произвольного значения t0 параметра t выполняется .

Следовательно, из с учетом доказанного соотношения получаем

.

Но так как , ибо

, то из последнего вытекает, что в точках огибающей должно выполняться условие

.

Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений

.

Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей

(исключая точки, где одновременно

и ). Окончательно

убеждаясь в том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие

касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства.

Пример 5. Снова рассмотрим уравнение из примера 2

. Его общее решение имеет вид

, т.е. .

Для нахождения огибающей рассмотрим систему

.

Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся, что y=0 действительно

является огибающей, так как через каждую ее точку M(x0;0) проходит

интегральная кривая со значением параметра c=-x0.

Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение

. Его общее решение имеет вид (x-c)2+y2=1 получаем

. Подставляя и

(x-c)2+y2=1 в левую часть уравнения, получим тождество

.

Нетрудно видеть, что семейством интегральных кривых являются окружности

единичного радиуса с центром в точках (c,0), лежащих на оси Ox.

На рис. 4 изображено семейство этих окружностей.

Из рисунка видно, что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1 и

y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и, следовательно, дающих его

два особых решения.

Найдем уравнения огибающих аналитически. Из Ф(x,y,c)=(x-c)2+y2

-1, получаем

следующую систему уравнений

.

Исключая из уравнения параметр c, получаем y2=1. Данное уравнение

дает две огибающих y=1 и y=-1.

Пример 7. Дано уравнение .

Его общее решение будет

, представляющем семейство гипербол, изображенных на рис. 5.

Из для нахождения предполагаемых огибающих получаем систему уравнений

.

Исключая из уравнений параметр c получаем уравнение кривой y=0, являющейся

осью Ox.

Кривая y=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и, следовательно,

является его решением. Однако, она не является огибающей, так как не имеет

общих точек с интегральными кривыми семейства. Таким образом, являясь

решением уравнения, она не является его особым решением.

Далее будут рассмотрены методы решения отдельных типов дифференциальных

уравнений.

5. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися

переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7