На первом решаем уравнение

или dU=(6x2y2+6xy-1)dx,

в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение,

получаем

U(x,y)=2x3y2+3x2y-x+h(y).

На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение

и дифференциальное уравнение для h и y

4x3y+3x2+h/(y)=4x3y+3x2+2y или .

Интегрируя последнее, получаем h=y2+c. Общий интеграл исходного

уравнения тогда можно записать в виде

2x3y2+3x2y-x+y2=c.

Пример 2. Найти решение уравнения

2xsinydx+(3y2+x2cosy)dy=0.

Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из

M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y2+x2cosy

Находим

.

Так как, очевидно, выполняется условие

,

то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Сначала решаем уравнение

или dU=2xsinydx,

считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает

U(x,y)=x2siny+h(y).

Затем находим функцию h(y), используя соотношения

, с одной стороны, и

, с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению

или .

Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y3+c.

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде

X2siny+y3+c=0.

Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что

уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы

сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению

U(x,y)=c.

Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

Где .

Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в виде

.

Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных

дифференциалах вида

M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0.

Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y),

то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого

оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных

дифференциалах, также для него возможно будет

.

В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится

уравнением в полных дифференциалах.

Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем

дифференциального уравнения

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных

дифференциалах.

Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом

интегрирующего множителя.

Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y).

Из предложения, что уравнение

M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0

Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия

.

Разверернув левую и правую части этого тождества

,

заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения

.

В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два

случая, когда его решение становится проще.

Случай первый. Пусть

.

Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x.

Действительно, пусть g=g(x). Тогда в виду

; получаем, что искомая функция g(x) является решением дифференциального

уравнения

или ,

интегрируя которое, находим

, т.е. .

Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда

.

Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е. g=g(y).

Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является решением

уравнения

и представляется в виде

.

Пример 3. Дано уравнение

(y2-3xy-2x2)dx+(xy-x2)dy=0.

Из M(x,y)=y2-3xy-2x2, N(x,y)=xy-x2,

, следует

, т.е. уравнение не является в полных дифференциалах.

Однако из соотношения

вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после

умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных

дифференциалах.

Указанный множитель находим из уравнения

,

интегрируя которое получаем

, или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций, то

положим c=1 и, тогда, g=x.

Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем

(xy2-3x2y-2x3)dx+(x2y-x3)dy=0,

являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим

,

,

затем из U/y=x2y-x3+h/(x) и U/y=N(x,y)=x2y-x3

получаем x2y-x3+h/=x2y-x3, т.е. и,

следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид

.

Пример 4. Требуется решить уравнение

(2xy2-y)dx+(y2+x+y)dy=0.

Из M(x,y)=2xy2-y, N(x,y)=y2+x+y, следует

.

Однако из соотношения

,

вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует

интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится

уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель находится из уравнения

.

Интегрируя его, получаем .

Умножая исходное уравнение на множитель , приходим к уравнению

.

Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его

,

,

затем из и ,

получаем

или .

Интегрируя последнее уравнение, имеем .

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид

.

9. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий

вид

F(x,y,y/,y//)=0 или .

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет

ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с

постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y//+py/+qy=h(x),

где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.

Если в этом уравнении

, то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго

порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

.

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида ,

Называемое характеристическим. Его корни, как известно, определяются формулами

.

Возможны следующие три случая для вида корней

этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2) корни –

действительные и равные; 3) корни уравнения – комплексно-сопряженные. Для

каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид

общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p2

-4q>0. Тогда оба корня

действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения

имеет вид

,

где c1, c2 – произвольные постоянные.

Действительно, если

, то ,

. Подставляя выражения для y,y/ и y// в уравнение получим

.

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е

p2-4q=0.

Тогда оба корня действительные и равные, т.е. .

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен,

т.е. p2-4q<0.

Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что

оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая

, общее решение однородного уравнения дается в виде

.

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

y//+py/+g(y)\h(x),

где h(x) – некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y/=z, y

//=z/, приходим к решению линейного дифференциального уравнения

первого порядка z/+pz=h(x).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7