Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции

от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная

функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве

, имеем , где

может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е.

.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/)=0,

называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/

=f(x,y) или ., где

f(x,y) – однородная функция нулевой степени.

Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения

с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Подставляя в исходное уравнение

и , получаем

уравнение вида или

, являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является

его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением

исходного уравнения.

Пример 1. Рассматривается уравнение

(x2-y2)dx+2xydy=0.

Перепишем его в виде

. Справа стоит функция однородная нулевой степени. Действительно,

. Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным

уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем

или , т.е. .

Разделяя переменные приходим к уравнению

.

Интегрируем левую и правую части этого уравнения:

.

Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного

дифференциального уравнения относительно переменных x и u

или , где c>0.

Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид

, где c – произвольная постоянная.

Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения

или y2+x2=cx,

Последнее выражение приводится к виду

.

Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является

семейство окружностей с центрами в точках

, лежащих на оси x, и радиусами

. Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. На рис.

6 изображено семейство этих окружностей.

Пример 2. Требуется найти частное решение уравнения ,

Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0.

Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой

степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным.

Выполняя замену y=ux, приводим его к виду

или .

Разделяем переменные, получаем

.

Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение вспомогательного

дифференциального уравнения

или .

Подставим в него и

получим .

Логарифмируя обе части этого уравнения получаем

и далее .

Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями x=1,y=0.

Подставим их в общее решение

, отсюда и

.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

7. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

уравнение вида y/+g(x)y=h(x).

Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y/

его можно рассматривать как линейное.

Если , то уравнение

принимает простой вид y/=h(x), и сводится к нахождению

неопределенного интеграла

. Его общее решение тогда имеет вид

.

Если , то уравнение

называется однородным линейным. Оно приобретает вид

, и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися

переменными

и далее .

Его общее решение имеет вид , где - некоторая первообразная для функции g(x).

Предположим теперь, что

, функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее

решение линейного дифференциального уравнения.

Представим исходное уравнение в виде

,

и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках,

, т.е. как бы полагая в общем решении

. Тогда вышеприведенное уравнение примет вид

,

являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята

для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения

с исходным).

Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть

представлено в виде

,

где A – произвольная постоянная. Очевидно,

является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при

некотором значении

, т.е.

.

Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной

, то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид

.

В нем второй множитель функция

является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного

уравнения . Первый

множитель функция

представляет общее решение дифференциального уравнения u/v(x)=h(x).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7