коллинеарен вектору ; 3)

векторы и

имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ <

0).

Замечание: В случае, когда λ = 0 или

произведение является нулевым

вектором.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативное свойство сомножителей);

Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну

и ту же длину . Кроме того,

они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с

направлением , если λ и

μ одного знака, и противоположно направлению

, если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю,

то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.

2. (свойства дистрибутивности).

Построим треугольник OAB где

и . Построим далее треугольник

SPQ, где и

. Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и

пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то

эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне

OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что

и одинаково направлены, если

λ > 0. Отсюда следует, что

. Но и

, а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.

Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности

коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда

векторы и

направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е.

. Но и следовательно, в этом

случае векторы и

равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора

, если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если

отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для

определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы

равна разности длин, точнее .

Но . Следовательно, и в этом

случае длина вектора равна

длине вектора . Очевидно, что

оба эти вектора направлены так же, как

. Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе

части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю

вектор или оба скаляра

одновременно.

Теорема: Если вектор

коллинеарен ненулевому вектору

, то существует вещественное число λ такое, что

= λ.

Глава 3. Линейная зависимость векторов

Любое множество, элементами которого являются векторы, называется

системой векторов. Выражение вида

, где λ i – вещественное число, называется

линейной комбинацией векторов системы

. Числа λ i называются коэффициентами

линейной комбинации. Различают два типа линейных комбинаций: тривиальные

, когда и нетривиальные

.

Если , то говорят, что вектор

представлен (разложен) в виде линейной комбинации векторов системы

. Разумеется, нулевой вектор может быть представлен в виде тривиальной линейной

комбинации любой системы векторов. Тривиальная линейная комбинация любой

системы векторов равна нулю.

Определение: Система векторов

называется линейно зависимой, если хотя бы одна нетривиальная

линейная комбинация векторов системы обращается в нуль, т.е. имеет место

равенство , при

.

Система векторов не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой.

Определение: Система векторов

называется линейно независимой, если равенство нулю линейной

комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из

того, что следует

.

Теорема: Если хотя бы один из векторов системы является нулевым, то эта

система является линейно зависимой.

Действительно, из векторов системы

можно составить линейную комбинацию

, которая не является тривиальной.

Теорема: Если часть системы векторов линейно зависима то и вся система

векторов линейно зависима.

Действительно, если система векторов

линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация

. Для любой системы векторов

линейная комбинация также

является нетривиальной.

Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух

векторов является их коллинеарность.

Действительно, либо оба коллинеарных вектора равны нулю, и тогда равна нулю

любая их линейная комбинация (в том числе и нетривиальная), либо один из них не

нуль, и тогда, в силу теоремы из второго раздела, другой отличается от него на

числовой множитель. Запишем это:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6