. Но эта же запись означает, что

, и мы имеем нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю.

Наоборот, допустим, что два неколлинеарных вектора

и линейно зависимы. Тогда

существуют коэффициенты λ и μ такие, что

, причем, например, λ ≠ 0. Это означает, что

, и векторы коллинеарны, вопреки нашему предположению.

Следствие: Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор

лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами

и , может быть представлен в

виде линейной комбинации этих векторов (т.е. найдутся такие вещественные числа

λ и μ, что ). Такое

представление единственно.

Заметим, прежде всего, что оба вектора

и отличны от нуля, так как если

бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор

коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из

второго раздела.

В общем случае перенесем все три вектора в одну точку О (рис. 6). Через

конец C вектора

проведем прямые CР и CQ, параллельные векторам

и . Тогда

, причем векторы и

коллинеарны соответственно и

. В силу теоремы из второго раздела существуют и определены однозначно такие

числа λ и μ, что ,

. Таким образом, , что и

требовалось.

Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация

, равная , причем, например

λ ≠ σ. Тогда ,

так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку C

параллельно вектору . Из

последнего равенства вытекает, что σ = λ, в противоречие с нашим

предположением.

Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех

векторов является их компланарность.

В самом деле, пусть векторы ,

, линейно зависимы, тогда один

из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например

. Приложим векторы ,

, к одной и той же точке О

(рис. 7), так что ,

, .

Предположим сначала, что векторы

, не коллинеарны; тогда несущие

их прямые определяют некоторую плоскость. В этой плоскости лежат и векторы

и , а значит, и весь

параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ

. Значит все три вектора ,

, компланарны.

Если векторы и

коллинеарны, то коллинеарны как векторы

, , так и их сумма

- три вектора ,

, оказываются даже

коллинеарными.

Если же векторы ,

, компланарны, то либо один из

них, например , лежит в одной

плоскости с двумя другими неколлинеарными векторами (следовательно

; или ), либо все три вектора

коллинеарны (следовательно ).

Тем самым следствие полностью доказано.

Следствие: Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор

может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов

, и

(т.е. найдутся такие числа λ, μ, ν, что

). Такое представление единственно.

Никакие два из векторов ,

и не коллинеарны, иначе все три

были бы компланарны. Поэтому, если

компланарен с какими-нибудь двумя из данных векторов, то наше утверждение

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6