|
,  , 
- правая тройка, то  , 
,  - левая, а 
,  , 
- снова правая тройка.
2.  ;
Если φ - угол между векторами 
и  , то 
. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой,
перпендикулярной  и 
. При λ > 0 и вектор  и 
вектор направлены так же, как  .
Если λ < 0, то кратчайший поворот от 
к  производится навстречу
кратчайшему повороту от  к 
. Поэтому  и 
противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и
векторы  и 
. Таким образом, при λ ≠ 0 векторы 
и  направлены всегда одинаково,
и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.
3.  ;
Если  , то доказываемое
очевидно. Если  , то разложим 
и  в суммы 
и  , где 
и  ортогональны 
, а  и 
коллинеарны  . Поскольку 
, и вектор  ортогонален 
, а  коллинеарен 
, нам достаточно доказать равенство 
и (в силу свойства 2) даже равенство 
, где  . Длина вектора 
равна 1. Выше, в примере, мы видели, что в этом случае умножение на 
сводится к повороту (ортогонального к 
) первого сомножителя на угол 90°. Но при повороте параллелограмм, построенный
на  и 
, поворачивается целиком вместе с диагональю. Тем самым равенство доказано.
4.  .
Пусть в некотором базисе  заданы векторы  и  тогда
или
Теорема: В ортонормированном базисе
или
{если базис левый, то перед одной из частей каждого равенства следует
поставить знак минус}.
Справедливость теоремы следует из предыдущих формул при учете примеров в
начале раздела. Чтобы избежать постоянных замечаний об ориентации базиса, мы
будем считать, что базис выбирается всегда правый.
Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:
1. Нахождения вектора перпендикулярного плоскости, в которой расположены
два заданных вектора.
2. 
Вычисление площади S параллелограмма, построенного на векторах 
и  , как на сторонах. В
ортонормированном базисе
 .
В планиметрии векторное произведение не определено. Но ничто не мешает
считать, что изучаемая плоскость помещена в пространство и третий базисный
вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное
произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь
параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой
 .
Глава 8. Смешанное произведение
Определение: число  называется смешанным произведением векторов  ,  и  .
Смешанное произведение векторов  ,  и  обозначается  или  .
Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему
параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс
если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая.
Действительно,  , где φ -
угол между векторами  и 
, а θ - угол между векторами 
и  . Объем параллелепипеда,
построенного на векторах  , 
и  , равен (рис. 13)
произведению площади основания 
на высоту  . Таким образом,
первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком
cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда 
направлен в ту же сторону от плоскости векторов 
и  , что и вектор 
, т. е. когда тройка  , 
,  правая. Аналогично
доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно.
Пример: Если  -
ортонормированный базис, то 
или  , смотря по тому, правый
это базис или левый.
Теорема: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов
является равенство нулю их смешанного произведения.
Равенство  возможно в следующих случаях:
a.хотя бы один вектор нулевой; тогда все три вектоpaкомпланарны;
b.sinφ = 0 тогда  и  коллинеарны, и следовательно  ,  и  компланарны;
c.cosθ = 0 тогда вектор  ортогонален  , т. е. компланарен  и  .
Обратное утверждение доказывается аналогично.
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
1.  ;
2.  ;
3.  .
Пусть в некотором базисе  векторы  ,  ,  , тогда
или
В частности, в ортонормированном базисе
{если базис левый, то перед одной из частей равенства следует поставить знак
минус}.
Следствие: Условие
является необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов,
заданных своими координатами в некотором базисе
Глава 9. Двойное векторное произведение
Определение: Вектор  называется двойным векторным произведением векторов  ,  и  .
Теорема: Для любых векторов  ,  и  справедлива формула
 .
Литература
Действительно, этим числом является или 
, или  в зависимости от того,
направлены ли векторы  и 
одинаково или противоположно. Если 
, то λ = 0. Единственность множителя λ очевидна: при умножении на
разные числа мы получим различные векторы.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
| 
