каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Из теоремы

второго раздела следует, что ,

где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или

противоположно направлены векторы

, и . Но,

, где φ - угол между векторами

, и . Итак,

. Аналогично вычисляются и остальные компоненты.

Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:

1. ; 2. ; 3. .

Пусть в некотором базисе заданы

векторы и

тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:

Величины называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно .

Теорема: В ортонормированном базисе

;

;

;

.

Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая

расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости

получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это

самостоятельно.

Глава 7. Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется

правоориентированной (правой), если после приложения к

общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора

ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная

тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (

левой).

Определение: Векторным произведением вектора

на вектор называется вектор

, удовлетворяющий условиям:

1. где φ – угол между векторами и ;

2. вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ;

3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов

является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется

площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Пусть, а

ортогонален к . Тогда

получается из вектора поворотом

вокруг вектора на

по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора

).

Пример: Если дан вектор

, то каждый вектор можно представить в виде суммы

, где – ортогонален

, а – коллинеарен

. Легко видеть, что .

Действительно, можно заметить, что

. Вектор компланарен векторам

и , а потому

и коллинеарны. Легко видеть

(рис. 12), что они одинаково направлены.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. (антикоммутативность);

Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не

зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор

коллинеарен вектору . Однако,

переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы

было выполнено условие 3) определения. Действительно, если

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6