а1 = Х - Dх1; а2 = Х - Dх2; ... ; аn = Х - Dхn.

Естественно, что истинные абсолютные ошибки Dхi могут принимать как

положительные, так и отрицательные значения.

Суммируя левые и правые стороны равенств получим

.

Поделим обе части равенства на число измерений n и получим

.

Величина является

среднеарифметическим величины Х. Если число n достаточно велико ( при n®¥),

то согласно четвертому свойству случайных ошибок

.

Это же видно и по кривой Гаусса (рис. 1), где всякой положительной

погрешности соответствует равная ей отрицательная.

Из изложенного следует, что

Х = а при n ® ¥,

т.е. при бесконечном числе измерений истинное значение измеряемой величины

равно среднеарифметическому значению результатов всех измерений. При

ограниченном числе измерений истинное значение будет отличаться от

среднеарифметического и необходимо оценить величину этого расхождения: Х = а

± Dх.

Следует еще раз подчеркнуть, что среднеарифметическое значение, принимаемое за

истинное значение измеряемой величины, является наиболее вероятным значением.

Среди значений аi могут оказаться значения, которые в

действительности ближе к истинному значению.

Отклонение Dх вероятнейшего значения а от его истинного значения Х называют

истинной абсолютной ошибкой.

1.6. Оценка точности измерений

Для ряда равноточных измерений а1, а2 ...аn

определим его среднеарифметическое значение а и составим разности (а - а1

), (а - а2), ..., (а - аn).

Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения (V

i). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки Dхi = (Х - а

i), бывают положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим

т.е. алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе

измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.

Вероятнейшие ошибки Vi лежат в основе математической обработки

результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку Dа

i среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата

измерений.

Средняя истинная случайная ошибка (иначе - среднее отклонение отдельного

измерения) определяется выражением (Dх1+Dх2+...+Dхn

)/n.

Величина [(Dх1)2+(Dх2)2+...+(Dх

n)2]/n представляет средний квадрат случайной ошибки или

дисперсию S2 выборки (при ограниченном n) или генеральной

совокупности s2 (при бесконечном n). Средняя квадратичная ошибка

отдельного измерения S =

является лучшим критерием точности, чем средняя случайная ошибка, т.к. не

происходит компенсации положительных и отрицательных ошибок Dхi и

сильнее учитывается действие крупных ошибок.

Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и

истинные случайные ошибки

хi. Для определения средней квадратичной ошибки S используется

положение теории случайных ошибок, что при большом числе измерений n

справедливо равенство

.

Различный знаменатель объясняется тем, что величины

хi являются независимыми, а из n величин Vi независимыми

являются n-1, т.к. в величину Vi входит а, само определяемое из этих

же n измерений.

Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить среднюю

квадратичную ошибку определенного измерения:

S = ±.

Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е. определим

величину Dх = Х - а.

Для этого проведем преобразование выражения

Sn2 =

=

= .

Если

повторить серии по n измерений в каждой N ðàç,

ìîæíî ïîëó÷ить

средние значения а1, а2, ... , аN и

погрешности результатов измерений

(Dх)1 = (Х - а1); (Dх)2 = (Х - а2); ... ; (Dх)N = (Х - аN)

и среднюю среднеквадратичную погрешность серии

Sa2 = .

При большом числе N S2a ® s2a

.

Усредняя выражение S2n по числу серий N, получаем

Sa2 = (Dx)2 = Sn2 - .

Учитывая что при большом n S2n ® s2 и S2 ® s2 получаем искомую

связь между дисперсиями всего опыта s2a и отдельного эксперимента [i1] s2

,

т.е. дисперсия s2a результата серии из n измерений в n раз

меньше дисперсии отдельного измерения. При ограниченном числе n измерений

приближенным выражением s2a будет S2a

.

Выражения s2a и S2a отражают

фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него

следует, что желая повысить точность измерений в 2 раза мы должны сделать

вместо одного - четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно

увеличить число измерений в 9 раз и т.д.

1.7. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности

Как установлено ранее, истинное значение измеряемой величины Х отличается от

среднеарифметического a на некоторую величину Dx. На рис. 2 представлено

расположение истинного значения Х и а, полученного из некоторых измерений а

1, а2, а3.

Ясно, что случайные величины а1, а2, а3

обусловят случайный характер абсолютной погрешности Dx результата серии

измерений, которая будет распределена по закону Гаусса:

.

Рис. 2. Взаимное расположение Х и а, полученных

из трех измерений а1, а2, а3

Тогда вместо выражения Х = а ± Dх можно записать а - Dх £ Х £ а + D.

Интервал (а - Dх; а + Dх), в который по определению попадает истинное

значение X называют доверительным интервалом. Надежностью (уровнем

значимости) результата серии измерений называется вероятность a того, что

истинное значение X измеряемой величины попадет в доверительный интервал.

Вероятность a выражается в долях единицы или процентах. Графически надежность

отражается площадью под кривой нормального распределения в пределах

доверительного интервала, отнесенной к общей площади. Выбор надежности

определяется характером производимых измерений. Например, к деталям самолета

предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному мотору, а к

последнему значительно больше, чем к ручной тачке. При обычных измерениях

ограничиваются доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для любой величины

доверительного интервала (выраженного в долях s ) по формуле Гаусса может

быть просчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления

проделаны и сведены в таблицу, имеющуюся практически во всей литературе по

теории вероятности. На рис. 3 представлены значения надежности a при величине

доверительного интервала ±s, ±2s, ±3s. Эти значения доверительной вероятности

рекомендуется запомнить.

По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности Dx может быть представлена

в виде К×sа, где К некоторый численный коэффициент, зависящий

от надежности a. Однако это справедливо лишь для большого (бесконечного) числа

n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина sа

неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного интервала при

малом n вводится новый коэффициент ta. Этот коэффициент предложен

английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим свои работы под

псевдонимом ² Стьюдент ².

Рис. 3. Значения надежности a при различных значениях Dx/s

И коэффициент ta назвали коэффициентом Стьюдента. Коэффициент

Стьюдента отражает распределение случайной величины t =

при различном n. При n®¥ ( практически при n ³ 20 ) распределение

Стьюдента переходит в нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента

также приводятся практически во всей литературе по теории вероятности.

Зная величину ta можно определить величину абсолютной погрешности Dх

= t×Sa . Следует отметить, что величина абсолютной погрешности

еще не определяет точность измерений. Точность измерений характеризует

относительная погрешность, равная отношению абсолютной погрешности Dx

результата измерений к результату измерений а: ε = ± Dх / а.

.

1.8. Обнаружение промахов

Если в ряду измерений встречаются результаты, резко отличающиеся от большей

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10