|
Dyi = yi - axi - b.
Рис. 12. К способу наименьших квадратов
Для минимизации  приравниваем к нулю производные этой суммы по параметрам а, b:
;
.
Преобразуем эту систему
Получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов.
Решая ее относительно а, b получаем:
 ;  .
Вычисляя из n опытов необходимые суммы и производя указанные действия,
получаем величину коэффициентов а, b.
Как видно, способ наименьших квадратов достаточно громоздок и при его
применении широко используется вычислительная техника. Метод наименьших
квадратов может использоваться и в случае нелинейных функций. Например, если
определяются параметры квадратичной зависимости:
y = ах2 + bx + с,
то
.
Дифференцируя это соотношение по а, b, с получаем систему нормальных уравнений:
Из этой системы можно определить параметры а, b, с.
При использовании метода наименьших квадратов при других нелинейностях,
удобнее будет линеаризовать исходные зависимости.
В табл. 4 приведены системы нормальных уравнений для некоторых исходных
уравнений.
Таблица 4
Системы нормальных уравнений
Исходное уравнение | Система нормальных уравнений | y=axb | 
| | y=a×lgx+b | 
| y=eax+b | 
| y=aebx | 
| y= | 
| y= | 
| y= | 
|
Примечания: 1. Величины х, y обозначают значения величин хi, yi в i-ом
опыте;
2. Знак S обозначают сумму величин от i = 1 до i = n, где n
- число равноточных измерений.
3.3.3. Интерполирование функций
Известно, что под интерполированием понимают отыскание значений функции,
соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице
логарифмов, тригонометрических и др. функций.
В общем смысле можно сказать, что задача интерполирования обратна задаче
табулирования функций. При интерполировании по таблице значений функции
строится ее аналитическое выражение, т.е. по значениям функции yo, y
1, ..., yn при значениях аргумента хо, х1
, ..., хn определяется выражение неизвестной функции.
Понятно, что через данные точки ( даже большого числа ) можно провести
множество различных кривых. Поэтому существует интерполирование в различных
функциях F (х). Чаще всего требуют, чтобы функция F(х) была многочленом
степени на единицу меньшей, чем число известных значений.
Таким образом, задачу интерполирования функций можно сформулировать следующим
образом.
Для данных значений х º хо, х1, ..., хn и
y º yo, y1, ..., yn найти многочлен y = F
(х) степени n, удовлетворяющий условиям F (хо) = yo, F (х
1) = y1, ..., F (хn) = yn. Точки хо
, х1, ..., хn называют узлами интерполяции. Многочлен F
(х) - интерполяционным многочленом , а формулы его построения -
интерполяционными формулами.
Как видно из описания сущности интерполирования, в отличии от описанных ранее
способов получения функций ( графического, метода средних, метода наименьших
квадратов ), интерполяционный многочлен опишет кривую, проходящую точно через
заданные точки.
3.3.4. Параболическое интерполирование
При параболическом интерполировании в качестве интерполяционного многочлена F
(х) принимают многочлен n - ой степени вида
F (х) = ао + а1х + а2х2 + ... + аnxn.
Используя свойство прохождения функции F (х) через заданные точки для
неизвестных коэффициентов аi можно составить n + 1 уравнений с n + 1
неизвестным:
ао + а1хо + а2хо2 + ... + аnхоn = yo;
ао + а1х1 + а2х12 + ... + аnх12 = y1;
....................................................
ао + а1хn + а2хn2 + ... + аnхn2 = yn.
Эта система имеет единственное решение, если значения хi отличны друг
от друга. Понятно, что при большом n возникает сложность решения этой системы.
Перед рассмотрением общего способа решения, рассмотрим простой пример.
Дано: хо = 0, х1 = 1, х2 = 2, yо =
1, y1 = 1, y2 = 3. Определить многочлен F (х).
Записывая многочлен F (х) в виде
F (х) = ао + а1х + а2х2
составим систему уравнений
 или 
откуда ао = 1, а1 = - 1, а2 = 1 и интерполирующий многочлен имеет вид
F (х) = 1 - х + х2.
Теперь рассмотрим общий подход к отысканию интерполяционного многочлена F
(х), не решением системы, а непосредственной записью.
Определим выражение для многочлена, принимающего в точке х = хо
значение yо = 1, а в точках х = х1, х2, ..., х
n - значения y1 = y2 = ... = yn = 0.
Очевидно, что многочлен будет иметь вид
 .
Здесь при х = хо числитель и знаменатель равны, а при х = х1
, х2, ..., хn - числитель равен нулю.
Теперь построим многочлен Fо (х), принимающий в точке хо
значение yо и обращающийся в нуль для значений х = х1, х
2, ..., хn. Учитывая предыдущее построение можно записать
.
Теперь можно записать многочлен F (х) для произвольного значения хi (
i = 0, 1, 2, ..., n ) принимающего значения F (хi) = yi,
а во всех остальных точках х ¹ хi значение, равное нулю
.
Как видно из записи, числитель не будет содержать выражения (х - хi),
а знаменатель - (хi - хi), т.е. выражений, обращающих
числитель и знаменатель в нуль.
Искомый многочлен будет равен сумме
 ,
т.е. снова в каждой точке хi одно из слагаемых принимает нужное
значение yi, а все остальные обращаются в нуль.
В развернутом виде
=
... +  .
Полученная формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Используя формулу Лагранжа запишем многочлен F (х) для разобранного выше
примера.
= 
=
.
Получили тоже самое выражение, что и ранее.
Контрольные вопросы
1. Назначение графического метода обработки результатов;
2. Сущность графического метода обработки результатов;
3. Понятие и назначение функциональной шкалы;
4. Выбор масштаба функциональной шкалы;
5. Сущность аппроксимации методом средних;
6. Сущность аппроксимации методом наименьших квадратов;
7. Принципиальное отличие метода интерполирования от метода наименьших
квадратов.
4.ОСНОВЫ НОМОГРАФИИ
Номография - слово греческое. Номос - закон, графо - пишу, черчу. В
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
| 
