равна нулю.

Здесь видно различие между дискретными и непрерывными случайными величинами. Для

дискретных случайных величин, для каждого значения случайной величины

существует своя вероятность. И для него справедливо утверждение: событие,

вероятность которого равна нулю, невозможно. Для непрерывной случайной величины

это утверждение неверно. Как показано, вероятность того, что Х = х1

( где х1- заранее выбранное число) равна нулю, это событие не

является невозможным.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, интегральный закон которой

предполагается непрерывным и дифференцируемым. Функцию

¦ (х) = F¢ (õ)

называют дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности

случайной величины Х. Из определения производной можно записать

¦ (x) = F¢ (x) =

,

т.е. плотность вероятности случайной величины Х в точке х равна пределу

отношения вероятности попадания величины Х в интервал (х; х + Dх) к Dх, когда

Dх стремится к нулю.

Используя понятия интегральной функции распределения и определенного

интеграла можно записать

¦ (x) = F¢ (x) или F (x) = p (x1 < X < x2) = .

Это соотношение имеет простое геометрическое толкование (рис. 5).

Если определяет заштрихованную область в соответствующих пределах, то

p (х < Х < х + Dх) » ¦ (х) Dх.

Рис. 5. Геометрический смысл дифференциальной функции распределения

Из свойств интегрального распределения следует

.

Зная дифференциальный закон распределения можно определить интегральный закон

распределения

F (x) = .

2.2. Числовые характеристики случайных величин, заданных своими распределениями

Основными характеристиками случайной величины, заданной своими

распределениями, является математическое ожидание ( или среднее значение ) и

дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины является центром ее распределения.

Дисперсия характеризует отклонение случайной величины от ее среднего

значения.

Если Х дискретная случайная величина, значения хi которой принимают с

вероятностью pi, так, что

, то математическое ожидание М (Х) случайной величины Х определяется равенством

M (X) = ,

т.е. суммой произведений всех ее возможных значений на соответствующие

вероятности.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины является аналог его

дискретного выражения

M (X) = .

Действительно, все значения в интервале (х; х + Dх) можно считать примерно

равными х, а вероятность таких значений равна ¦ (х) dx (см. ранее). Поэтому

значения хi дискретного распределения заменяются х, а вероятности p

i - на ¦ (х) dx, а сумма заменяется интегралом.

Дисперсией или рассеянием случайной величины Х называется математическое

ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.

D (Х) = М [Х - М (Х)]2 = М (Х - х)2 = s2 (х)

Если случайная величина Х дискретна и принимает значения хi с

вероятностями pi, то случайная величина (Х - х)2

принимает значения (хi - х)2 с вероятностями Рi

. Поэтому для дискретной случайной величины имеем

D (X) = .

Аналогично для непрерывной случайной величины получаем

D (X) = .

Чем меньше величина дисперсии, тем лучше значения случайной величины

характеризуются ее математическим ожиданием.

2.3. Основные дискретные и непрерывные законы распределения

Как отмечалось ранее, очень часто случайная величина распределена по

нормальному закону. Но существуют и другие распределения, имеющие

практическое значение. Рассмотрим некоторые из них по условиям возникновения

и основным параметрам их характеризующим.

1. Равномерное распределение вероятностей.

Пусть плотность вероятности А равна нулю всюду, кроме интервала (a; b), на

котором она постоянна (рис. 6). Тогда можно записать

p (a < X < b) = A = .

Рис. 6. Дифференциальный и интегральный законы

равномерного распределения

Тогда дифференциальный закон равномерного распределения определяется

¦ (x) =

Интегральный закон распределения

F (x) =

.

При х ³ b имеем

F (x) =

Таким образом интегральный закон равномерного распределения задается (рис. 6)

F (x) =

Основные характеристики распределения

М (X) =

;

D(X) =

=

=

.

2. Биноминальное распределение

Пусть при некотором испытании событие А может наступить или не произойти (А).

Обозначим вероятность А через р, а А через q = 1 -р ( других итогов испытания

нет ). Тогда исходами двух последовательных независимых испытаний и их

вероятностью будут:

АА - р2; АА - рq; АА - qр; АА - q2.

Отсюда видно, что двукратное появление события А равно р2,

вероятность однократного появления - 2 рq, а вероятность того, что А не

наступит ни разу - q2. Эти результаты единственно возможные и

поэтому

.

Это рассуждение можно перенести на любое число испытаний.

Например, при трех испытаниях получим

.

Подсчитаем вероятность того, что при n испытаниях событие А появится m раз.

Это может произойти, например, в последовательности

Ясно, что вероятность равна рmqn-m.

Но m событий А может быть и в другом сочетании. Число всех возможных сочетаний

из n элементов по m (количество событий А) равно числу сочетаний

. Используя теорему сложения вероятностей получаем общую вероятность Рm

,n наступления m событий А из n испытаний

Pm,n =

= .

Из этой формулы видно, что вероятности Рm,n для

различного исхода испытаний (появление или не появление определенного

результата А) определяется

pn + npn-1q +

.

Коэффициенты перед вероятностями р, q являются биноминальными коэффициентами, а

общая вероятность представляет слагаемые в разложении бинома ( р + q )n

. Поэтому закон распределения случайной величины Х, в котором вероятность

наступления событий А определяется коэффициентами бинома, называется

биноминальным распределением дискретной случайной величины. Этот закон может

быть задан в виде таблицы 1.

Таблица 1

Биноминальный закон распределения

хi	0	1	2	...	m	...	n
pi	qn	npqn-1		...		...	pn

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10