громосткоcтью. Великий русский геометр с успехом преподавал математику в

гимназии и, кроме учебника геометрии, создал учебное руководство по

алгебре. В 1985 году Н. И. Лобачевский представил в Казанский университет

рукопись «Алгебра». Также над алгебраическими вопросами работают и такие

математики как В. А. Евтушевский («Сборник арифметических задач») в первой

части, которой ставится задача введение «алгебраического языка»; переход к

буквенным обозначениям от числовых формул задач, П. Л. Чебышев

(«Руководство алгебры») и т. д.

Начало нового века внесло существенные коррективы в преподавание

алгебры. Передовая педагогическая мысль признала, что в курс алгебры должны

быть включены: идеи переменной величины, понятие функции.

Историческую основу современной логики образуют две теории дедукции,

созданные в IV веке до н. э. Древнегреческими мыслителями: одна –

Аристотелем, другая – его современниками Мегарской школы. Преследуя одну

цель - найти «общезначимые» законы логоса, о которых говорил Платон, они,

столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели.

Аристотель в сочинении «Топика» в качестве доказательства сформулировал

основное правило исчисление высказываний – правила «отделения заключения».

Именно на этом пути он ввел понятие высказывания как истинной или ложной

речи, открыл атрибутивную форму речи – как утверждения или отрицания «чего-

либо о чем-то», определил простое высказывание как атрибутивное отношение

двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объектных отношений,

аксиому и правило силлогизма.

Логические идеи мегариков были ассимилированы в философской школе

стоиков. В сочинениях стоиков логические высказывания предшествуют

аристотелевской силлогистики, оформляясь в систему правил построения и

правил вывода высказываний.

Эпикура – последняя наиболее важная для истории логики школа в

античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию,

индукцию. Они положили начало индуктивной логике, указав, на роль

противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и, сформулировав

ряд правил индуктивного обобщения.

Эпикурейской «каноникой» заканчивается история логической мысли ранней

античности. На смену приходит поздняя античность. Ее вклад в логику

ограничивается переводческой деятельностью поздних перипатетиков и

неоплатоников.

Как самостоятельная наука логика развивается лишь в странах арабской

культуры (VII – XI век). Оригинальная средневековая логика, известная под

названием «logica modernorum» возникает лишь в XII – XIII веке.

Последующие два столетия – эпоха возрождения для дедуктивной логики были

эпохой кризиса.

В XIX – XX веке в трудах Дж. Буля возникает алгебраическая логика.

Развивалась она в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д.

Гильберта и др. Основным предметом алгебраической логики стали

высказывания, рассуждения. Под высказыванием понимается каждое предложение,

относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно.

В алгебраической логике для обозначения истинности вводится символ И, а

для обозначения ложности - символ Л. Часто вместо этих символов

употребляются числа 1 и 0.

Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики,

принципы построения математических теорий.

Основным предметом математической логики является построение и изучение

формальных систем. Центральным результатом является, доказанная в 1931 году

австрийским математиком Геделем теорем о неполноте, утверждающая, что для

любой «достаточно разумной» формальной системы существуют неразрешимые в

ней предложения, то есть такие формулы А, что ни сама формула А, ни ее

отрицания не имеют вывода.

§ 2 Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях.

Когда мы пишем сочинение, письмо, выступаем на собрании, то свои мысли

выражаем при помощи предложений. Читая книгу, статью, мы опять встречаемся

с тем, что рассуждения есть цепочка некоторых предложений.

Изучая математику мы тоже пользуемся предложениями, которые могут быть

записаны как на естественно (русском) языке, так и на математическом, с

использованием символов (3 + 4 · 7 = 31). Математические предложения

характеризуются содержанием и логической структурой.

Но, как известно, любое предложение образуется из слов, а слова – из

букв некоторого алфавита. Алфавит состоит из: десяти цифр, для записи чисел

в десятичной системе (0,1,2,…,9); букв латинского алфавита, для обозначения

переменных, множеств их элементов (a, b, c, …, z, A, B, C, …, Z); знаков,

для записи действий (+, - , ·, :, ( , и др.); знаков отношений, для записи

предложений ( =, >, < и др.). А также в символических записях встречаются

скобки, запятая.

Из этих знаков конструируются слова и предложения. Слово – это такая

конечная последовательность букв алфавита, которая имеет смысл. Например,

запись 7 - : 8 + смысла не имеет, и, значит словом ее назвать нельзя.

В математике различаются элементарные и составные предложения. Например:

«Число 56 делится на 8» – это элементарное предложение. А предложение

«Число 56 четное и делится на 8» составное.

Среди суждений, устанавливающих различные отношения между понятиями,

выделяют высказывания и высказывательные формы. Высказыванием называется

предложение, относительно которого имеет смысл вопрос, истинно оно или

ложно.

Например, предложение «число 8 четное» есть истинное высказывание, а

предложение «3 + 3 = 32» ложное высказывание. Каждому высказыванию

приписывают одно из двух значений: И (истина) и Л (ложь). Значения И и Л

называют значениями истинности высказывания. Если высказывание

элементарное, то его значение истинности определяется по его содержанию. А

если оно составное, то значение истинности зависит от значения истинности

составляющих его элементарных высказываний, соединенных при помощи слов:

«и», «или», частицы «не», «если…, то…» и др., которые называются

логическими связками.

Выясним смысл, который в математике имеет союз «и». Пусть А и В –

произвольные высказывания. Образуем из них, с помощью союза «и», составное

высказывание. Назовем его конъюнкцией и обозначим А ? В (читают: А и В).

Конъюнкицией высказываний А и В называется высказывание А ? В, которое

истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из

этих высказываний ложно.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания

«Число 102 четное и делится на 9». Высказывание имеет форму «А и В», где А

– число 102 четное – И, а В – число 102 делится на 9 – Л. Следовательно, и

все предложение ложно.

Выясним теперь, какой смысл в математике имеет союз «или». Пусть А и В –

произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное

высказывание. Назовем его дизъюнкцией и обозначим А ? В (читают: А или В).

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ? В, которое

истинно когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба

высказывания ложны.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания

«Число 15 четное или делится на 3», высказывание имеет форму «А или В»,

где А – Число 15 четное – Л, а В – число 15 делится на 3 – И.

Следовательно, и все предложение истинное.

Очень важно знать какой из союзов «и» или «или» присутствует в

предложении, иначе может получиться например такое недоразумение: Как-то

раз Катя пошла гулять с собакой, и вернулась с прогулки взволнованная.

Какой-то прохожий упрекнул ее в нарушении правил содержания собак в городе.

Листок с правилами был наклеен на заборе, и одно из них гласило: собака на

прогулке должна быть на поводке… в наморднике (кусочек бумаги после слов

«на поводке» был оторван).

Она спустила собаку с поводка, но оставила в наморднике. На этом примере

хорошо видна роль союза. Если бы был союз «и», прохожий оказался бы прав.

Если бы союз «или» была бы пава Катя.

Часто в математике приходится строить высказывание, в которых что-либо

отрицается. Например, дано высказывание «Число 12 простое». Это ложное

высказывание. Построим его отрицание: «Неверно, что число 12 простое».

Получили истинное высказывание. Отрицание высказывания А обозначают ?

читают: «Не А» или «Неверно, что А».

Вообще, отрицанием высказывания А называется высказывание ?, которое

истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.

Также составные высказывания можно получить при помощи слов «если…,

то…». Например: «Если я куплю билеты, то пойду в театр», «Если ученик

получил на экзамене положительную оценку, то он сдал этот экзамен».

Высказывания имеет форму «Если А, то В» и называется импликацией

высказываний А и В (от латинского слова implicatiomecho связывают).

Импликацию высказываний А и В записывают так: А ( В и читают «Если А, то

В». Высказывание А называют условие импликации, а высказывание В - ее

заключением.

Считают, что импликация А ( В истинна во всех случаях, кроме случая,

когда А истинно, а В ложно.

Но существует еще и импликация обратная данной. Переставив местами

импликацию двух высказываний А ( В получим В ( А. Ее называют импликацией,

обратной импликации А ( В. Например, если дана импликация «Если вам больше

14 лет, то вы имеете паспорт», то импликация, обратная данной, такова:

«Если вы имеете паспорт, то вам больше 14».

Образуем конъюнкцию двух взаимно обратных импликаций А ( В и В ( А, то

есть высказывание вида (А ( В) ? (В ( А). Это высказывание истинно только

тогда, когда высказывания А и В оба истинны, либо оба ложны. Высказывания

данного вида называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают:

А ( В. Запись читают: а) А равносильно В; б) А тогда и только тогда,

когда В; в) А, если и только, если В.

Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует

предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны.

Например, эквиваленция «2 = 3 тогда и только тогда, когда 3 < 5» - ?,

потому что ложно высказывание «2 = 3».

Все эти определения можно записать с помощью таблицы, называемой

таблицей истинности.

|А |В |А ? В |А ? В |? |А ( В |В ( А |(А(В) ? (В(А) |

|И |И |И |И |? |И |И |И |

|И |? |? |И | |? |И |? |

|? |И |? |И |И |И |? |? |

|? |? |? |? | |И |И |И |

В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или

несколько переменных. Например: Х < 3; Х + У = 8. Эти предложения не

являются высказываниями, т. к. относительно их не имеет смысла вопрос,

истинны они или ложны. Но при подстановке значений переменных эти

предложения в высказывания (истинные или ложные).

Предложения такого вида называния высказывательными формами или

предикатами. Каждая высказывательная форма порождает высказывания одной и

той же формы. Высказывательная форма содержащая одну переменную называется

одноместной, а две двух местной.

И так, высказывательная форма – это предложение с одной или несколькими

переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него

конкретных значений переменных.

Среди всех возможных значений переменной существуют те, которые обращают

высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений

переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например,

множеством истинности предиката Х > 5, заданного на множестве

действительных чисел, буде промежуток (5;?).

Обозначим множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда

согласно определению, всегда Т ( Х.

Также как и высказывания, предикаты бывают элементарные и составные.

Составные образуются из элементарных при помощи логических связок.

Пусть на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х). Предикат

А(х) ( В(х), х ( Х называют импликацией данных предикатов. Он обращается

в ложное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых

предикат А(х) ( В(х) истинен. Говорят что предикат В(х) логически следует

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10