|
|
| Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле |
|
/td> |
  ;
 .
где  и  - постоянные (к=1,2).
Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для конечных
многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула Чизотти
для конечных многосвязных круговых областей.
Если найден  и  от известного интегрального выражения  ):
 , т.е.
; (60)
,
то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных,
бесконечных) областей 
.
2. Если область  - концентрическое круговое кольцо, то
 , (61)
где  - заданная
функция  - функция
Вейерштрасса, то мы имеем интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной
контурной форме.
Из (61) получим:
 , (62)
 , (63)
где  ,  ,  ,  .
Формулы (62) и (63) называются интегральными формулами Вилля-Пуассона.
Подставляя (62) и (63) в исходную интегральную (59) мы получим интегральную
формулу Дирихле через интеграл Чизотти. Формулы (62) и (63) можно назвать
интегральными формулами Дирихле-Чизотти для конечных двусвязных областей.
в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение
задачи Дирихле для соответствующих областей.
Если известны интегральные формулы Шварца для круговых областей 
, дающие аналитической в 
функции  через
нормальной производной ее действительной части на границе 
области  и
интегральные представления Чизотти для круговых областей, дающие выражение
функции  ,
реализующей конформное отображение области 
на ограниченную гладкой кривой (51), (52), то поэтому интегральную формулу,
дающую конформное отображение 
на  через нормальную
(касательную) производную ее действительной (мнимой) части 
на границе  ,
естественно назвать интегральной формулой Дини-Шварца-Чизотти для заданных
областей.
Можно рассмотреть интегральные формулы Дини-Шварца для многосвязных областей
и их применение к решению краевых задач типа Дирихле.
Решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле сопряженной
гармонической функции.
Учитывая, что задача конформного отображения многосвязной области 
на каноническую область 
и задача Дирихле для той же области эквивалентны (49), используем интегральный
метод Чизотти для соответствующих областей (50), (51).
Применяя ИПАФ типа Шварца регулярной и однозначной в 
, найдем решение задачи Дирихле, как представляющее однозначную и аналитическую
(гармоническую) в произвольной многосвязной области функцию
 (64)
удовлетворяющую в  уравнению
 (65)
и граничному условию
 ,  , (66)
где  .
Решение задачи (65) и (66) в заданных произвольных областей 
имеет следующий вид:
 (67)
или после соответствующих преобразований получим (§4 п."б"):
 ;
 , (68)
где  и 
постоянные, определяемые нормировкой функции 
,  - угол наклона
касательной  в
точке  ,
соответствующей 
при отображении  .
Пусть теперь  -
каноническая область (круг, концентрическое круговое кольцо, внешность двух
кругов, .), а  -
соответствующая область, ограниченная контуром 
.
Построим функцию  ,
дающую конформное отображение 
на  . Причем будем
для простоты считать, что 
,  .
В силу конформности отображения  всюду в  функция равна
 ;  на  (69)
 , 
Следовательно, функцию 
можно представить следующими интегральными формулами типа Шварца:
 ,  , ( );
 ,  , ( ; (70)
 ,  ,
где  - ядро Шварца для круга;
 - функция Вейерштрасса;
 - ядро Александра-Сорокина для неконцентрического кругового кольца;
 - ядро для внешности двух окружностей;
 - ядро для симметричных и равных (неравных) окружностей.
Интегральное представление (68) назовем интегральной формулой для решения задачи
типа Дирихле для рассмотренных областей 
.
Для нахождения гармонической 
(или  ) в
произвольной односвязной области 
функций, достаточно знать 
или  обычные
классические интегральные формулы Пуассона для круга 
:
или
 .
2. Для нахождения решения задачи Дирихле в произвольной двусвязной ограниченной
(конечной) области 
через  - решение
кругового кольца надо пользоваться контурной компактной формулой Вилля, т.е. 
и  - интегральные
формулы Пуассона для кругового кольца (
):
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
