|
|
| Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле |
|
/td> |
Из существования отображающей функции 
следует, что функция 
регулярная, однозначная и эффективная в канонической области 
согласно равенству (64), представляется по интегральной формуле Шварца [5] в
форме Александрова-Сорокина в следующем виде:
. (75)
Функция  регулярна
и действительные части на граничных компонентах 
принимают непрерывные значения 
, определяемые равенством (65), а 
- ядро определяется следующими формулами [5]:
 , (76)
 , (77)
 1, при 
-1, при  , с – вещественное число.
Если мы в (67) отделим вещественную и мнимую части, то мы получим две
интегральные формулы Пуассона для 
- связных круговых областей 
; что мы и делаем, следуя вычислениям Александрова-Сорокина [5], т.е. решаем
задачу Дирихле-Пуассона: об определении значений гармонической функции внутри
канонической области 
, если известны ее значения на границах 
,  - функция
полярного аргумента, дающая граничные значения 
.
, (78)
, (79)
где  ,  ,  .
Рассмотрим некоторые частные задачи Дирихле-Пуассона для  .
Следствие 1. Если в формулах (72) и (73) положить 
, то мы получим формулу Пуассона – интеграл Пуассона для круга [ ]:
 , ( ) (80)
 , ( ) (81)
Следствие 2. Если в формулах (72) и (73) положить 
, то мы получим две интегральные формулы Пуассона для кругового кольца:
 , (82)
 , (83)
где (74) и (75) – реальные и мнимые части компактной интегральной формулы
Вилля-Шварца для кругового кольца [2], 
- функция Вейерштрасса, 
- угол наклона касательной к 
в точке  , 
,  - периоды, с
– произвольная постоянная, 
( ).
Так как функция  )
представляется быстро сходящимися рядами, то формулы (74) и (75) можно с
успехом использовать для приближенного решения соответствующих граничных задач.
Следствие 3. Если в формулах (70) и (71) 
- задана нормальная (касательная) производная, то мы получим две интегральные
формулы Дини-Шварца для соответствующих областей, т.е. получим непосредственное
обобщение интеграла Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для заданных
рассмотренных областей.
В случае единичного круга  эта формула имеет вид[1, 9]:
 , (84)
где действительная функция 
при  , под 
понимается дифференцирование по направлению внутренней нормали, а с –
произвольная постоянная. Формула (76) имеет место при условии, что
 . (85)
Условие (77) – необходимое и достаточное условие дл разрешимости
рассматриваемой граничной задачи и при его выполнении искомая однозначная
аналитическая функция определяется с точностью до произвольного комплексного
постоянного слагаемого.
А из (76) следуют формулы Дини:
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
