а индекс k может принимать значения

k = 2, 3, 4, ... , n

(16)

Если k=1, то

F1(x = y2) = min f1(x1, x)

(17)

x1

где

x1 = x + d1 - y1

(18)

0£ x £ d2 + d3 + ... + dn

(19)

26

т.е. на начальном этапе при фиксированном уровне y1 исходного запаса

каждому значению параметра x отвечает только одно значение переменной x1

, что несколько уменьшает объем вычислений.

Применив известную вычислительную процедуру динамического программирования, на

последнем шаге (при k = n) находим значение последней компоненты xn*

оптимального решения, а остальные компоненты определяем как

(20)

Рассмотрим более подробно функции затрат fj(xj, yj+1

) и рекуррентные соотношения. Пусть

jj(xj) = axj2 + bxj + c

jj (xj) - затраты на производство (закупку) xj единиц продукции на этапе j;

hj - затраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа j в этап j+1.

Тогда затраты на производство и хранение на этапе j равны

fj(xj, yj+1) = jj(xj) + h

j yj+1 = axj2 + bxj + c + h

j yj+1. (21)

Выведенные ранее рекуррентные соотношения динамического программирования для

решения задачи управления производством и запасами в нашем случае принимают

вид:

(22)

где

k = 2, 3, ... , n

(23)

0 £ yk+1 £ dk+1 + dk+1 + ... + d

n (24)

0 £ xk £ dk + yk+1

(25)

yk = yk+1 + dk - xk

(26)

(27)

Если же k=1, то

(30)

(29)

(28)

Остается заметить, что полезно обозначить выражение в фигурных скобках через

Wk(xk, yk+1) = axj2 + bxj + c + hkyk+1 + Fk-1(yk) (31)

и записать рекуррентное соотношение (22) в виде

Fk(x=yk+1) = min Wk(xk, yk+1

) (32)

xk

27

где минимум берется по целочисленной переменной xk, удовлетворяющей

условию (25).

Пример. Рассмотрим трехэтапную систему управления запасами с дискретной

продукцией и динамическим детерминированным спросом.

Пусть спрос (заявки) потребителей на нашу продукцию составляют: на первый этап d

1=3 единицы, на второй – d2=2, на третий - d3=4

единицы. К началу первого этапа на складе имеется только 2 единицы продукции,

т.е. начальный уровень запаса равен y1=2. Затраты на хранение

единицы продукции на разных этапах различны и составляют соответственно h

1=1, h2=3, h3=2. Затраты на производство xj

единиц продукции на j-м этапе определяются функцией

jj(xj) = xj2 + 5xj + 2 (33)

т.е. а=1; b=5; с=2. Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных

этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а

наши общие затраты на производство и хранение за все три этапа были

наименьшими.

Исходные данные задачи можно кратко записать одной строкой:

d1 d2 d3 a b c h1 h2 h3 y1

1 2 4 1 5 2 1 3 2 2

Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляем

F1 (x = y2), F2 (x = y3), ..., F

k (x = yk+1), ... и соответственно находим

1 (x= y2),

2 (x = y3 ), ..., `

k (x = yk+1), ...

Положим k = 1. Согласно (27) имеем

(34)

Учтем, что согласно (28) параметр состояния x = у2 может принимать

целые значения на отрезке

0 у2 d2 + d3

0 y2 2 + 4

т.е.

у2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

При этом, вообще говоря, каждому значению параметра состояния должна отвечать

определенная область изменения переменной x1, характеризуемая

условием (29)

0 х1 3 + у2

Однако, на первом этапе объем производства х1 не может быть меньше

единицы, так как спрос d1 = 3, а исходный запас у1 = 2.

Более того, из балансового уравнения

х1 + у1 - d1 = у2

непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра

состояния x= у2 соотношением

x1 = y2 + d1 - y1 = y2 +

3 - 2 = y2 +1 (35)

В этом и состоит особенность первого этапа. Если задан уровень запаса к началу

первого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение

х1 и потому

F1(x = y2) = W1 (x1, y2)

28

Придавая у2 различные целые значения от 0 до 6 и учитывая (35), находим

y2 = 0, x1 = 0+1 = 1, W1 (1;0) = 12 + 5×1 + 2 + 1×0 = 8

y2 = 1, x1 = 1+1 = 2, W1 (2;1) = 22 + 5×2 + 2 + 1×1 = 17

и т.д. Значения функции состояния F1(x ) представлены в табл. 1

Таблица 1

x = y2	0	1	2	3	4	5	6
F1 (x = y2)	8	17	28	41	56	73	92
x1(x=y2)	1	2	3	4	5	6	7

Переходим ко второму этапу. Полагаем k = 2 и табулируем функцию

F2(x = y3) с помощью соотношения (32)

(37)

Здесь минимум берется по единственной переменной х2, которая может

изменяться, согласно (25), в пределах

0 £ x2 £ d2 + y3 или 0

£ x2 £ 2 + y3

(38)

где верхняя граница зависит от параметра состояния x = у3, который,

согласно (15), принимает значения на отрезке

0 £ y3 £ d3 , т.е. 0 £ y3

£ 4 (39)

а аргумент у2 в последнем слагаемом справа в соотношении (37) связан

с х2 и у3 балансовым уравнением

x2 + y2 - d2 = y3

откуда следует

y2 = y3 + d2 - x2 = y3 +

2 - x2 (40)

Придавая параметру состояния различные значения от 0 до 4, будем последовательно

вычислять W2 (x2, x), а затем определять F2(x

) и 2(x

).

Положим, например x = у3 = 2. Тогда, согласно (38),

0 £ x2 £ 4,

т.е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, а каждому

значению х2 отвечает определенное значение у2,

вычисляемое по формуле (40):

у2 = 4 - х2

Последовательно находим:

если x2 = 0, то y2 = 4-0 = 4, W2

(0,2) = 02 + 5×0 + 2 + 3×2 + F1(4) = 8 + 56 =

64,

x2 = 1, y2 = 4-1 = 3, W2 (1,2)

= 12 + 5×1 + 2 + 3×2 + F1(3) = 14 + 41 = 55,

x2 = 2, y2 = 4-2 =2, W2 (2,2)

= 22 + 5×2 + 2 + 3×2 + F1(2) = 22 + 28 = 50,

x2 = 3, y2 = 4-3 = 1, W2 (3,2)

= 32 + 5×3 + 2 + 3×2 + F1(1) = 32 + 17 = 49*,

x2 = 4, y2 = 4-4 = 0, W2 (3,2)

= 42 + 5×4 + 2 + 3×2 + F1(0) = 44 + 8 = 52.

29

Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (2), т.е.

F2 (x = y3 = 2) = min W2 (x2,2) = min (64, 55, 50, 49, 52) = 49,

x2

причем минимум достигается при значении х2, равном

`2 (x = y3 = 2) = 3

Аналогично для значения параметра x = у3 = 3, проведя необходимые

вычисления, найдем

F2 (x = y3 = 3) = 63; `2 (x = y3 = 3) = 3.

Процесс табулирования функции F2 (x = y3) приведен в табл.

2, а результаты табулирования сведены в табл. 3.

Таблица 3

x= у3	0	1	2	3	4
F2 (x= y3)	24	36	49	63	78
(x= y3)	2	2	3	3	4

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14