Перейдем к третьему этапу.

3 этап. С точностью до уравнения (3.10) запишем следующим образом

(3.16)

Теперь подставляем в систему уравнений (3.16)

в форме (3.12), оставляем слагаемые, имеющие порядок не выше

и суммируем уравнения. Получим равенство для нахождения

(3.17)

В полученное равенство подставим выражения для функции

и , найденные на

втором этапе. В результате приведения подобных, для

получим уравнение Фоккера-Планка

(3.18)

с коэффициентом переноса и коэффициентом диффузии

Уравнение Фоккера-Планка (3.18) получено для некоторого диффузионного процесса

, плотность распределения вероятностей которого

.

Запишем стохастическое дифференциальное уравнение для в общей форме

, (3.19)

где - винеровский

процесс с нулевым средним и единичным коэффициентом диффузии, в нашем случае

оно приобретает вид

. (3.20)

Введем новый случайный процесс , (3.21)

для его приращения справедливо

Выберем функцию

так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению

. Например, . Тогда

и, следовательно, .

Выразим из (3.21) функцию (заметим, что ) и получим

(3.22)

Анализируя вид процесса

можно сделать вывод, что он распределен по нормальному закону. Найдем

и , которые

полностью определяют вид плотности распределения

. Учитывая свойства винеровского процесса, получим

(3.23)

Найдем дисперсию.

рассмотрим второе слагаемое подробнее. Для этого введем обозначение

, тогда получим

С учетом того, что будем иметь

Тогда в окончательном варианте дисперсия равна

(3.24)

Теперь можно записать решение уравнения Фоккера-Планка (3.18), которое имеет вид

(3.25)

Пусть , где

- точка покоя дифференциального уравнения

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18