Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания

Вероятности переходов из состояния системы

в произвольный момент времени t в состояние

за бесконечно малый интервал времени

показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.

Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного распределения

процесса ,

описывающего функционирование сети

(3.1)

где

Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния

Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически невозможно, но

можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то есть при

.

Первое приближение

Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных

. В результате замены производится переход от дискретной переменной

к непрерывной переменной

.

В новых обозначениях . Тогда система (3.1) примет вид

(3.2)

Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.

1 этап. Считая и предполагая, что , будем иметь

(3.3)

.

Выразим через функцию и получим

(3.4)

где

- асимптотическая плотность нормированного числа заявок в источнике повторных

вызовов.

Обозначим

(3.5)

Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства

(3.6)

.

Осталось найти вид функции . Для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. В системе (3.2) разложим функции по приращению

аргумента ,

ограничиваясь слагаемыми порядка

, получим систему

(3.7)

Просуммируем полученные уравнения, поделим на и перейдем . Тогда будем иметь

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18