равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 коэффициенты первого из

уравнений (3.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам второго из этих

уравнений. Стало быть, в этом случае второе уравнение (3.25) является

следствием первого, и его можно отбросить. Но одно уравнение с тремя

неизвестными

+

+= 0, естественно,

имеет бесчисленное множество решений (двум неизвестным можно предписывать

произвольные значения, а третье неизвестное определять из уравнения).

Рассмотрим теперь систему (3.25) для случая, когда хотя бы один из

определителей второго порядка, составленных из матрицы (3.26), отличен

от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что отличен от нуля

определитель

(3.27)

0

Тогда мы можем переписать систему (3.25) в виде

+=,

+ =

и утверждать, что для каждого z существует единственное решение этой системы,

определяемое формулами Крамера (см. разд. 1.2, формулы (3.8)):

(3.28)

, .

Далее удобно использовать алгебраические дополнения

, и

элементов третьей строки определителя:

В силу результатов разд. 1.5 о связи алгебраических дополнений и миноров

можно записать

(3.29)

= , = , = .

Основываясь на (3.29), мы можем переписать формулы (3.28) в виде

(3.30)

, .

Для того чтобы получить решение в виде, симметричном относительно всех

неизвестных х, у, и z, положим

(отметим, что в силу (3.27) определитель

отличен от нуля). Поскольку z может принимать любые значения, то и новая

переменная t может принимать любые значения.

(3.31)

Мы приходим к выводу, что в случае, когда определитель (3.27) отличен от

в которых t принимает какие угодно значения, а алгебраические дополнения

, и

определяются формулами (3.29).

2.3. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим теперь однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными:

(3.32)

++= 0,

+ = 0,

++= 0.

Очевидно, что эта система всегда имеет так называемое тривиальное решение: х

= 0, у = 0, z = 0.

В случае, когда определитель системы

, это тривиальное решение является единственным (в силу разд. 2.1).

Докажем, что в случае, когда определитель