Полученные нами формулы Крамера дают решение системы (3.23) и потому

доказывают единственность решения исходной системы (3.19), ибо система (3.23)

является следствием системы (3.19), и всякое решение системы (3.19) обязано

быть решением и системы (3.23).

Итак, мы доказали, что если у исходной системы (3.19) существует при

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера

(3.24).

Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны подставить в

исходную систему (3.19) на место х, у и z их значения, определяемые формулами

Крамера (3.24), и убедиться в том, что все три уравнения (3.19) обращаются

при этом в тождества. Убедимся, например, что первое уравнение (3.19)

обращается в тождество при подстановке значений х, у и z, определяемых

формулами Крамера (3.24). Учитывая, что

= + + , = + + ,

= ++,

получим, подставив в левую часть первого из уравнений (2.19) значения

, и

, определяемые формулами Крамера:

++ = ++=

=

.

Группируя внутри фигурной скобки члены относительно A,, А2 и Л3, получим, что:

++=

.

В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны нулю, а

круглая скобка равна определителю

. Таким образом, мы получим

+

+ =

, и обращение в тождество первого уравнения системы (3.19) установлено.

Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего уравнений

(3.19).

Мы приходим к следующему выводу: если определитель

системы (3.19) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение

этой системы, определяемое формулами Крамера (3.24).

2.2. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными

(3.25)

В этом и в разделе мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения

неоднородной системы (3.19) с определителем, равным нулю. Сначала рассмотрим

однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

++= 0, + = 0

Если все три определителя второго порядка, которые можно составить из матрицы

(3.26)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12