|
— побочной.
Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для определителя
(3.11), укажем следующее правило, не требующее большого напряжения внимания и
памяти. Для этого к матрице, из которой составлен определитель, допишем
справа еще раз первый, а затем второй столбец. В полученной при этом матрице
              
сплошной чертой соединены три тройки членов, получаемые параллельным
переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение
(3.11) со знаком «плюс»; пунктирной же чертой соединены три другие тройки
членов, получаемые параллельным переносом побочной диагонали и отвечающие
трем слагаемым, входящим в выражение (3.11) со знаком «минус».
1.4. Свойства определителей
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы
этого определителя поменять ролями, т.е.
 = 
Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители, стоящие
в левой и правой частях (3.13), по указанному в разд. 1.3 правилу и убедиться
в равенстве полученных при этом членов.
Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Поэтому
все дальнейшие свойства определителя можно формулировать и для строк, и для
столбцов, а доказывать — или только для строк, или только для столбцов.
Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя
равносильна умножению его на число -1.
Доказательство также получается из правила, указанного в предыдущем разделе.
Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых
столбца), то он равен нулю.
Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны,
определитель 
не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 он изменит знак на
противоположный. Таким образом, 
= - , т.е. 2
= 0 или  = 0.
Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого
столбца) определителя на число 
равносильно умножению определителя на это число 
.
Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или
некоторого столбца) определителя можно выносить за знак этого определителя.
Например,
 =   
Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что определитель
выражается в виде суммы (3.12), каждый член которой содержит один и только
один, элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого
столбца.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца)
определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
Это свойство вытекает из предыдущего (при  = 0).
Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя
пропорциональны, то определитель равен нулю.
В самом деле, в силу свойства 4 множитель пропорциональности можно вынести за
знак определителя, после чего остается определитель с двумя одинаковыми
строками, равный нулю согласно свойству 3.
Свойство 7. Если каждый элемент п-й строки (или п-го столбца) определителя
представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен
в виде суммы двух определителей, первый из которых имеет в п-й строке (или в
п-м столбце) первые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный
определитель, в остальных строках (столбцах), а второй определитель имеет в п-й
строке (в п-м столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и
исходный определитель, в остальных строках (столбцах).
Например,
 =  + 
Для доказательства этого свойства снова достаточно заметить, что определитель
выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых содержит один и только
один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого
столбца.
Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца)
определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого
столбца), умноженные на произвольный множитель 
, то величина определителя не изменится.
Действительно, полученный в результате указанного прибавления определитель
можно (в силу свойства 7) разбить на сумму двух определителей, первый из
которых совпадает с исходным, а второй равен нулю вследствие
пропорциональности элементов двух строк (или столбцов) и свойства 6.
1.5. Алгебраические дополнения и миноры
Соберем в выражении (3.12) для определителя члены, содержащие какой-нибудь один
элемент этого определителя, и вынесем указанный элемент за скобки; величина,
остающаяся при этом в скобках, называется алгебраическим дополнением
указанного элемента.
Алгебраическое дополнение данного элемента мы будем обозначать прописной
латинской буквой того же наименования, что и данный элемент, и снабжать тем же
номером, который имеет данный элемент. Например, алгебраическое дополнение
элемента  будем
обозначать через 
алгебраическое дополнение элемента 
— через  и т. д.
Непосредственно из выражения для определителя (3.12) и из того, что каждое
слагаемое в правой части (3.12) содержит один и только один элемент из каждой
строки (из каждого столбца), вытекают следующие равенства:
 =   +  +  ,  =  +  +  ,  =  +  + 
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
| 
