Введем следующие обозначения:

= , = , = . (3.6)

С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка

уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:

= , = .

Определитель ,

составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3.3), принято называть

определителем этой системы. Заметим, что определители

и получаются из

определителя системы

посредством замены его первого или соответственно второго столбца свободными

членами.

Могут представиться два случая: 1) определитель системы

отличен от нуля; 2) этот определитель равен нулю.

Рассмотрим сначала случай

0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных,

называемые формулами Крамера:

= / , = / (3.8)

Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и потому доказывают

единственность решения исходной системы (3.3). В самом деле, система (3.7)

является следствием системы (3.3), поэтому всякое решение системы (3.3) (в

случае, если оно существует!) должно являться решением и системы (3.7). Итак,

пока доказано, что если у исходной системы (3.3) существует при

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (3.8).

Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при

0 два числа и

. определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на место неизвестных в

уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества. (Предоставляем читателю

самому расписать выражения для определителей

, и

, и убедиться в справедливости указанных тождеств.)

Мы приходим к следующему выводу: если определитель

системы (3.3) отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (3.8).

Рассмотрим теперь случай, когда определитель

системы равен нулю. Могут представиться два подслучая: а) хотя

бы один из определителей

или , отличен от

нуля; б) оба определителя

и равны нулю. (если

определитель и

один из двух определителей

и равны нулю, то и

другой из указанных двух определителей равен нулю. В самом деле, пусть,

например = 0

= 0, т.е. /

= /

и /

= /

. Тогда из этих пропорций получим, что

/=

/, т. е.

= 0).

В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.7), т. е.

система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система

(3.3) (следствием которой является система (3.7)).

В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество решений. В

самом деле, из равенств

==

= 0 и из утверждения в конце разд. 1.1 заключаем, что второе уравнение системы

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12