|
равен нулю, однородная система (3.32) имеет бесчисленное множество решений.
Если все определители второго порядка, которые можно составить из матрицы
  
равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 соответствующие коэффициенты всех
трех уравнений (3.32) пропорциональны. Но тогда второе и третье уравнения
(3.32) являются следствиями первого и могут быть отброшены, а одно уравнение  
+ 
+ = 0, как уже
отмечалось в разд. 2.2, имеет бесчисленное множество решений.
Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрицы (3.33)
отличен от нуля. Так как порядок следования уравнений и неизвестных находится в
нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем считать, что отличен
от нуля определитель (3.27). Но тогда, как установлено в разд. 2.2, система
первых двух уравнений (3.32) имеет бесчисленное множество решений,
определяемых формулами (3.31) (при любом t).
Остается доказать, что х, у, z, определяемые формулами (3.31) (при любом t,
обращают в тождество и третье уравнение (3.32). Подставляя в левую часть
третьего уравнения (3.32) х, у и z, определяемые формулами (3.31), получим
Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых скобках равно
определителю 
системы (3.32). Но определитель 
по условию равен нулю, и поэтому при любом t мы получим  
+ 
+ = 0.
Итак, доказано, что однородная система (3.32) с определителем А. равным
нулю, имеет бесчисленное множество решений. Если отличен от нуля минор
(3.27), то эти решения определяются формулами (3.31) при произвольно взятом t.
Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная система
(3.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда
определитель ее равен нулю.
2.4. Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
с определителем, равным нулю.
Теперь мы располагаем аппаратом для рассмотрения неоднородной системы (3.19) с
определителем 
, равным нулю. Могут представиться два случая: а) хотя бы один из определителей 
,  или 
- отличен от нуля; б) все три определителя 
,  и 
равны нулю.
В случае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.23), т. е.
система (3.23) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная
система (3.19) (следствием которой является система (3.23)).
Переходим к рассмотрению случая б), когда все четыре определителя 
,  , 
и  равны нулю. Начнем
с примера, показывающего, что и в этом случае система может не иметь ни одного
решения. Рассмотрим систему:
Ясно, что эта система не имеет решений. В самом деле, если бы решение 
,  , 
существовало, то из первых двух уравнений мы получили бы 
,  , а отсюда,
умножая первое равенство на 2, получили бы, что 2 = 3. Далее, очевидно, что все
четыре определителя 
,  , 
и  равны нулю.
Действительно, определитель системы
 = 
имеет три одинаковых столбца, определители 
,  и 
получаются путем замены одного из этих столбцов свободными членами и, стало
быть, имеют по два одинаковых столбца. В силу свойства 3 все эти определители
равны нулю.
Докажем теперь, что если система (3.19) с определителем 
, равным нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесчисленное множество
различных решений.
Предположим, что указанная система имеет решение 
,  , 
. Тогда справедливы тождества
  +  + =  ,
  +    =  ,
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
| 
