Вычисление определителей. Системы линейных алгебраи­ческих уравнений 2-го, 3-

го и n-го порядков. Правило Крамера.

2. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица. Матричный метод решения

линейных уравнений. Ранг матрицы и его вычисление. Тео­рема о базисном

миноре. Исследование системы линейных уравнений общего вида. Теорема

Кронекера-Капелли. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических

уравнений.

3. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами и

их свойства. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение по базису.

Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Деление отрезка в

данном отношении.

4. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя

векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.

5. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение, его свойст­ва.

Векторное произведение в декартовой системе координат.

6. Смешанное произведение, его свойства. Вычисление смешанного произведения в

декартовой системе координат. Геометрический смысл определителя третьего

порядка. Компланарность трех векторов.

7. Прямая. Различные способы задания прямой на плоскости

(векторная и координатная формы) . Угол между двумя прямыми. Ус­ловия

параллельности и перпендикулярности прямых.

8. Векторная и координатная формы задания плоскости и прямой в и в

пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

9. Линии второго порядка, их канонические уравнения и свойства. Переход от

одной декартовой системы координат к другой на плос­кости.

10. Линейные пространства. Примеры. Линейная зависимость элемен­тов.

Евклидово пространство. Примеры. Неравенства Коши-Буняковского и

треугольника. Угол между векторами. Ортогональ­ность .

11. Понятие о линейном операторе и его матрице в данном базисе. Примеры

линейных операторов. Собственные векторы и собственные значения линейных

операторов.

12. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

13. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к ка­ноническому виду.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (274 часа)

1. Введение в анализ (20 часов)

1.1. Числовые множества. Точные верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение предела числовой последовательности и не­которые ее свойства.

Бесконечно малые и бесконечно большие по­следовательности. Арифметические

операции с последовательностя­ми. Существование предела монотонной

последовательности. Число е.

1.2. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши

(формулировка). Функции. График функции. Свойства пределов функций.

1.3. Замечательные пределы. Следствия из них. Бесконечно малые и 'бесконечно

большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно

малые функции, их использование при оп­ределении пределов. Непрерывность

функций в точке. Классификация точек разрыва.

2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(30 часов)

2.1. Локальные и глобальные свойства функции. Свойства функций, непрерывных

на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса и ' теорема Коши).

Определение и свойства производной функции. Геометрический и механический

смысл производной.

2.2.. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Производные обратных тригонометрических функций. Функции, задан­ные

параметрически. Их дифференцирование. Таблицы производных простейших

элементарных функций. Дифференциал и его свойства.

2.3. Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производ­ная от

функции, заданной параметрически. Производная вектор-функции и ее

геометрический смысл. Возрастание (убывание) функ­ции в точке. Теоремы Ролля,

Лагранжа, Коши. Следствия из теоремы Лагранжа. Отыскание локальных и

глобальных" экстремумов функций. Раскрытие неопределенностей по правилу

Лопиталя.

3. Применение дифференциального исчисления для исследования функ­ций и

построения графиков (26 часов)

3.1. Формула и ряд Тейлора. Бином Ньютона, формулы Тейлора для элементарных

функций. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асим­птоты функции. Построение

графиков функций.

3.2. Векторные функции скалярного аргумента и их дифферен­цирование.

Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной прямой

и- нормальной плоскости.

3.3. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

4. Элементы высшей алгебры (8 часов)

4.1. Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на

плоскости. Геометрический смысл. Модуль и аргумент ком­плексного числа.

Алгебраическая и тригонометрическая формы ком­плексного числа. Формула

Эйлера.

4.2. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложе­ние

многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные

множители. Разложение рациональных дробей на про­стейшие.

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких

переменных (20 часов)

5.1. Область определения. Предел функции, непрерывность. Дифферен-цируемость

функции нескольких переменных, частные производные и полный дифференциал,

связь с частными производными. Производные от сложных функций. Инвариантность

формы полного дифференциала. Производные неявной функции.

5.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл

полного дифференциала функции двух переменных.

5.3. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости результата

дифференцирования от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших

порядков.

5.4. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.

5.5. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремумы функций

нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный

экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области.

Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений.

6. Интегральное исчисление функций одной переменной (40 часов)

6.1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства

не­определенного интеграла. Таблица интегралов. Интегрирование по частям и

методом замены переменной.

6.2. Интегрирование рациональных дробей, простейших

триго­нометрических выражений, линейных и дробно-линейных ирра-

циональностей. Квадратичные иррациональности.

6.3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычислений. Не­собственные

интегралы. Приложения определенных интегралов в гео­метрии и механике.

7. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (44 часа)

7.1. физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися

переменными, однородные и приводящиеся к однородным, линейные уравнения,

уравнения в полных дифференциалах.

7.3. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Понятие особого решения дифференциального уравне­ния. Огибающая семейства

кривых.

7.4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Рюши. По­нятие о

краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и

единственности решения задачи Коши, Понятие об­щего и частного решений.

7.5. Уравнения допускающие понижение порядка. Линейные диф­ференциальные

уравнения высших порядков. Линейно-зависимые и ли­нейно-независимые системы

функций. Определитель Вронского, его свойства.

7.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами, линейная независимость их решений, фундаменталь­ная система

решений.

7.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с по­стоянными

коэффициентами. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации

произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами со спе­циальной правой частью.

7.8. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Реше­ние

нормальной системы методом исключения. Задача Коши для нор­мальных систем.

7.9. Элементы теории устойчивости.

8. Криволинейные интегралы (6 часов)

8.1. Криволинейные интегралы первого рода, вычисление.

8.2. Криволинейные интегралы второго рода, вычисление, приложения.

Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегриро­вания,

криволинейный интеграл от полного дифференциала, восста­новление функции по

полному дифференциалу.

9. Кратные интегралы (38 часов)

9.1 Двойной интеграл, условия существования и свойства. Вычисление двойного

интеграла в декартовой и полярной системах координат.

9.2 Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройного интеграла в

декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Приложение

кратных интегралов к решению геометрических, механи­ческих и физических

задач.

9.3 Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, вычисление. Формулы Гаусса-

Остроградского, Стокса.

9.4 Скалярное поле и его характеристики. Векторное поле. Векторные линии и

трубки, их дифференциальные уравнения. Поток векторного поля через открытую и

замкнутую поверхность, его свойства, вы­числение.

9.5 Дивергенция векторного поля, физический смысл, свойства, вы­числение.

Теорема Остроградского.

9.6 Ротор векторного поля. Физический смысл, свойства, вычисление. Линейный

интеграл, циркуляция вектора поля по контуру, вычисле­ние. Теорема Стокса.

9.7 Векторные дифференциальные операции первого и второго поряд­ков. Оператор

«набла», свойства, действия с оператором. Основные типы векторных

полей: соленоидальное, потенциальное, гармоническое, их характеристики.

Потенциал векторного поля, его вычисление. Основная теорема векторного

анализа.

10. Ряды. Преобразование Фурье (42 часа)

10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая про­грессия.

Необходимое условие сходимости ряда. Простейшие дейст­вия над рядами. Ряды с

положительными членами.

10.2. Теоремы сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Ин­тегральный

признак сходимости ряда.

10.3. Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака.

Знако­чередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка ряда.

Знако­переменные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о

сходимости абсолютно сходящегося ряда. Ряды с комплексными чле­нами .

10.4. Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходи­мость.

Признак Вейерштрасса.

10.5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости, интервал и радиус

сходимости для рядов с действительными членами. Теорема о равномерной

сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы. Ин­тегрирование и

дифференцирование степенных рядов.

10.6. Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в степенной

ряд. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Применение

степенных рядов к решению дифференциальных уравнений. Приближенные

вычисления.

10.7. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Приближение в среднем. Свой­ства

минимальности коэффициентов Фурье. Теорема о сходимости в среднем и

поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье.

10.8. Понятие ортонормированной системы функций. Разложение в ряд Фурье четных и

нечетных функций/ заданных на интервале (-ЗТ,^Г) . Разложение в

тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале (a, b).

Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла и ряда Фурье. Преобразование Фурье.

Синус- и косинус- преобразова­ния Фурье. Свойства преобразования Фурье.

Раздел 1. Матрицы и определители. Векторная алгебра. Ана­литическая

(СЛАУ)

Учебники: [1, гл.5, § 1-6], [10, дополнение к гл. 1],[16, гл. 6, 11, § 1].

Аудиторная работа: [2, N 14.4(6), 14.7(2), 14.21(9), 15.2(3), 15.5(1-3,9),

15.45(1,2), 15.65(1), 16.18(1,4,12,20), 17.2(1,3), 19.1(3,9)], [7, гл.2, §

1-3, N 1, 2(1,3), 3(1,3), 5, 19(1,2,4), 20(1,2), 22(13), 24(3,7), 25(1,4),

29(1)], [18, N 5, 11, 23, 55, 75, 82, 257, 260, 608, 609, 689, 700, 725],

[20, ч.1, гл.3, § 1-4, N 3.1, 3.8, 3.12, 3.55, 3.78, 3.80, 3.91, 3.106,

3.114, 3.121, 3.150, 3.187, 3.192, 3.198, 3.207, 3.210], [25, занятия

1(1.2.1, I.2.3, 1.2.9, 1.2.15), 2(2.2.2.-2.2.4)] 10(10.2.1.,10.2.4(6-

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10