2) Пусть точка К -точка пересечения медианы треугольника, проведенной из А2

со стороной А1А3 . Точка К-середина отрезка А

1А3. Поэтому ее координаты равны полусумме координат концов

отрезка, а именно

Воспользуемся уравнением (1.3.30)

3)Высота, проведенная из вершины А2 перпендикулярна стороне А1

А3, поэтому угловой коэффициент k определяется из условия (1.3.33):

Воспользуемся уравнением (1.3.29):

у = y2 + k(x-x2); y=0-5(x-4);

y=-5x +20, т.е. высота треугольника А1А2А3 ,

проведенная из вершины A2 совпадает с медианой, проведенной из этой

вершины.

Вопросы для самопроверки

1.Запишите условия перпендикулярности и параллельности:

а)прямых;

б)плоскостей;

в)прямой и плоскости.

2.Получите координаты точки К делящей данный отрезок АВ в отношении

3.Какие особенности имеет уравнение плоскости, если она:

а)параллельна осям координат ОХ; ОУ; OZ;

б)перпендикулярна осям координат ОХ; ОУ; OZ;

в)параллельна плоскостям ОХУ; OXZ; OYZ .

4. Как найти точку, симметричную точке М0(x0,у0

,z0) относительно плоскости Ах+ Ву+ Cz+D = 0 .

5. Составьте уравнение плоскости , проходящей через точку М0 (x0

,y0,z0) параллельно двум прямым с направляющими векторами

а1 и а2 , причем а1 ≠ а2

6.Получите нормальное уравнение плоскости.

7.Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2 ,

параллельно вектору а .

8.Выведите формулы для нахождения расстояния от точки до прямой, между двумя

скрещивающимися прямыми.

9.Получите уравнение биссектрисы угла треугольника.

10.Получите формулу для нахождения угла между прямыми, лежащими в плоскости

ХОУ.

Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Эле­ментарная теория линий

Тема выносится на самостоятельное изучение

Учебники: [ 1, гл.2, §4, гл.3, §1-3], [10, гл.6, §1-5] , [16, гл.2, §3, п.

10-13].

Самостоятельная работа : [ 2, N7.25, 7.38, 7.54, 8.1(1, 3, 6), 9.1(1,2),

9.3(1, 4), 9.4(1-3], [7, гл.3, N49, 50, 51, 54, 62(1,2), 63(1/2) ], [20, ч.1,

гл..2, N2.247, 2.249(1, 2), 2.256(a), 2.257, 2.258, 2.267, 2.269(a), 2.278,

2.279, 2.286/ 2.288(в), 4.226, 4.227 (в двух последних заданиях

преобразование координат проводить по формулам 1.4.1-1.4.3) ], [25, занятие

16(16.2.6-16.2.7) ].

Простейшими преобразованиями координат на плоскости есть пре­образование

поворота и параллельного переноса. Одна и та же точка имеет различные

координаты в разных системах декартовых коорди­нат. Существует связь между

координатами точки в различных системах координат.

Рис.1.4.1 Рис.1.4.2

Параллельный перенос. Заданы две системы координат: старая ОХУ

и новая О1Х1У1 (рис . 1. 4 .1) . Начало новой

системы координат находится в точке O1(а,в) .

Старые координаты х, у точки М через новые координаты x

1y1 вы­ражаются формулами

x=x1 +a, y=y1+b (1.4.1)

откуда х1 =х-а, y1 =y- b,

(1.4.2)

Поворот координатных осей. Новая система координат OX1Y1

полу­чена поворотом старой на угол α вокруг точки О (рис.1.4.2).Старые

координаты х, у точки М через новые координаты x1, y

1 выражаются фор­мулами

x=x1cosα - y1sinα

y=x1sinα + y1cosα

(1.4.3)

В общем случае, когда заданы преобразования параллельного переноса и поворота

осей координат, связь между старыми и новыми координа­тами имеет вид:

x=x1cosα - y1sinα+a

y=x1sinα + y1cosα+b

(1.4.4)

Студент должен уметь общее уравнение кривой второго порядка

a11х2 + 2а12 ху + а22 у2 + c1x + с2 у + d = 0, (1.4.5)

путем преобразования системы координат (параллельный перенос, по­ворот)

приводить к простейшему (каноническому) уравнению. В новой системе координат

уравнением кривой (1.4.5) будет одно из следую­щих канонических уравнений:

Общее уравнение второй степени (1.4.5) при повороте осей ко­ординат на угол

α преобразуется в уравнение

a΄11х12 + а΄22 у1

+ d΄ = 0 ( 1.4.7)

формулы преобразования координат имеют вид (1.4.3), угол α опре­деляется

по формуле

Уравнение (1.4.7) приводится к каноническим уравнениям (1.4.6)

выделением полных квадратов и применением фoрмул парал­лельного переноса

(1.4.1) .

Пример 1.4.1.Кривая второго порядка задана уравнением Зх2 +4xy-4x-8y= 0

Записать каноническое уравнение этой линии. В данном случае а11

= 3, 2а12 = 4, a22 = 0 . По формуле (1.4.8)

находим ctg2α=3/4 > 0 . Сле­довательно,

Тогда sinα >0 и cosα >0, cos2α >0. По формулам (1.4.9) вычисляем

Замечание: если предположить, что

то sinα > 0, cosα < 0, cos2α < 0 и по формулам (1.4.9) имеем:

Вычисленные значения sinα и cosα подставляем в (1.4.3):

Подставим полученные выражения в исходное уравнение и преоб­разуем его.

В последнем уравнении выделим полные квадраты

Используя формулы (1.4.1), положим

В новых координатах последнее уравнение имеет вид

Это уравнение определяет сопряженную гиперболу (действительная ось ОУ) с

полуосями а=1, b=2.

Построим гиперболу в новой системе координат O1Х2У2.

Вначале вы­числим старые координаты точки O1 в которой находится

центр гиперболы.

Рис.1.4.3

Для этой точки х2 = 0; у2 = 0.По формулам (1.4.1) находим

С помощью формул (1.4.3) вычисляем

Так, точка O1 имеет координаты O1 (2,-2).Через точку O

1 проводим ось OX 2 , для которой tgα = 1/2 и ось

OY2 перпендикулярно оси OX2. Строим гиперболу

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение эллипса, гиперболы, параболы.

2.Дайте определение директриссы и эксцентриситета кривых второго порядка.

3. Какие линии определяют уравнения 9х2 ± 4у2

= 36 . Вычислите параметры кривых.

4.Получите уравнения асимптот гиперболы.

5.Чему равен эксцентриситет для окружности?

6.Докажите,что произведение расстояний от произвольной точки гиперболы

до ее асимптот есть величина постоянная. а Ь

Тема 1.5.Некоторые сведения о линейных векторных пространствах. Собственные

числа и собственные векторы

Учебники: [16, гл.16, §1.2].

Аудиторная работа: [7, гл.2, §4, N34(1.2), 37(2), 39(1), 40(1,2), 41(1,2)],

[20, ч.1, гл.4, N4.83.4.86, 4.90, 4.106(a), 4.183], [25, занятия

14(14.2.1, 14.2.4), 15 (15.2.1, 15.2.4, 15.2.7)].

Самостоятельная работа: [7, гл.2, §4, N35, 37(1,3,4), 39(2), 40(3),

41(3,4)], [20, ч.1, гл.4, N4.84,4.87, 4.91, 4.92, 4.106(6), 4.184]/

[25, занятия 14(14.3.3, 15 (15.3.1, 15.3.5, 15.3.8, 15.3.9)].

В теории линейных векторных пространств обобщается понятие вектора,

введенного в курсе векторной алгебры.

Упорядоченная совокупность n чисел х={х1,х2,...хn