Рис .1.2.1 Pис .1.2.2

Рис .1.2.3

a) векторы а и b сонаправлены (Рис. 1.2.1), тогда α=-β;

b) векторы а и b имеют противоположное направление (рис.1.2.2).

В этом случае α=β ;

с) векторы а и b образуют между собой угол φ. При этом угол

φ от­личен от 0 и π радиан (рис.1.2.3). Приведенное в условии

равен­ство возможно лишь при α=β=0.

Рассмотренный пример дает представление о линейной зависимо­сти и

независимости векторов (важнейшее положение темы «Векторная алгебра»).

Линейной комбинацией п векторов хi (i=1,n)

называется сумма произведений этих векторов на действительные числа а

i (i=1,n), а именно

(В рассмотренном примере записана линейная комбинация 2х единичных

векторов а° и b° ) .

Векторы хi (i=l,n) называются линейно-зависимыми, если их

ли­нейная комбинация (1.2.1) равна нулю, а среди коэффициентов ai

(i=l,n) имеется хотя бы один отличный от нуля. На рис. 1. 2 .1-1. 2 . 2

изображены два линейно зависимых вектора. Они могут быть располо­жены на одной

прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора, расположенные на одной либо на двух параллельных прямых, называются

коллинеарными.

Условие коллинеарности векторов а = λb , где λÎR.

Если три вектора расположены в одной либо в параллельных

плоскостях, то они называются компланарными.

Компланарные векторы линейно зависимы. Необходимое и достаточное условие -

компланарности векторов:

с = αа+βb .

Векторы xi (i=l,n) называются линейно-независимыми, если ра­венство

нулю их линейной комбинации (1.2.1) возможно лишь в том случае, когда

коэффициенты ai(i=l,n) одновременно равны 0.

Случай двух линейно-независимых векторов представлен на

рис. 1.2.3 (линейная комбинация αа+βb равна нулю лишь при

одновре­менном обращении в ноль α и β) .

Пример 1.2.2. Векторы а,b,с некомпланарны (линейно независи­мы).

Доказать, что векторы m=a+2b-c, п=За-b+с и р=а+5b-Зс

компланарны и найти их линейную зависимость.

Приравняем к нулю линейную комбинацию векторов т,п,р (αт+

βn+γk = 0) и подставим в равенство разложения векторов т,п,р

по векторам а, b,с .

γ)a+(2 α - β+5 γ)b+(- α+ β-3 γ)c=0

Равенство нулю линейной комбинации векторов а,b,с возможно лишь в том

случае, когда коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Из этого условия

получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую решим методом Гауса

(пример 1.1.11)

Коэффициенты равной нулю линейной комбинации векторов т,п,р могут быть

отличны от нуля, следовательно векторы т,п,р линейно зависимы

(компланарны). Подставляя α, β, γ в равенствo

αт+βп+γp=0 и сокращая на С, получим -2т+ n+k = 0 .

С понятием линейной независимости векторов тесно связано та­кое фундаментальное

понятие как базис.

Базисом на плоскости Q называется любая упорядоченная пара неколлинеарных

векторов, параллельныx плоскости Q. Любой вектор с,

параллельный плоскости Q, можно представить в виде с= αа+ βb.

Базисом в трехмерном пространстве называется любая упорядо­ченная тройка

некомпланарных (линейно-независимых) векторов. Если а,b,с- базис в

пространстве, то любой вектор d пространства можно единственным образом

разложить по этому базису по формуле:

d= αа+ βb+γc

Декартовым базисом на плоскости (рмс 1.2.4) называются два единичных,

взаимно-перпендикулярных вектора i и j (| i| = |j| =1,

i^j ), совпадающих с положительным направлением осей ОХ и ОУ

соот­ветственно.

рис.1.2.4 рис.1.2.5

Любой вектор плоскости а может быть единственным образом представлен в

виде a=ax i+ay j , где числа аx

и аy называются координатами вектора а .

Декартовым базисом в пространстве (рис.1.2.5.) называются три

единичных взаимноперпендикулярных вектора i,j,k, совпадающих с

по­ложительным направлением осей OX,OY и OZ соответственно. Любой

вектор а может быть единственным образом представлен в виде

a=ax i+ay+az k , где числа аx

, аy , аz называются координатами вектора а.

Если вектор a=АВ задается координатами начальной точки A(xa

, ya, za ) и конечной B(xb, y

b, zb ), то его координаты имеют вид:

a=(xb-xa, yb-ya, zb-za ).

Два вектора а и b равны в том и только в том случае, когда

координаты их равны, т.е. ax=bx, ay=b

y, az=bz.

3.Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением век­торов

а и b называется число равное произведению длин этих век­торов на

косинус угла между ними, т.е.

a b=|a||b|cos(a,b)

(1.2.2 )

Из формулы (1.2.2) для ненулевых векторов можно вычислить ко­синус угла между

векторами

Длина вектора |а| определяется по формуле

|a| =

(1.2.4 )

Из свойств скалярного произведения следует обратить внимание

на коммутативный (перестановочный) закон аb=bа.

Пример 1.2.3. Вычислить угол между векторами а и b , если

а =2т+ Зп , b = т- 2n , |т|=2 , |п|=3, (m,n)=

π/3 . Угол между векторами вычисляется по формуле (1.2.3).

(2т+3n)(m-2n)=2mm-4-тп+Зпт-6пп=2тт-тп-6пп=2·2·3·cos0-2·3·cos(

π/3)--6·3·3·cos0=12-3-54=-45;

Предположим в пространстве задан декартов базис { i , j, k } и два вектора

а = аx i+ ay j+ аz k , b = bx i + by j+ bz k .

В декартовом базисе скалярное произведение векторов и длина векто­ра

вычисляются по формулам:

а b = axbx+ ayby + аzb

z

(1.2.5)

|а| = (1.2.6)

Условие перпендикулярности векторов: аb=0 или

axbx+ ayby + аzbz

=0

(1.2.7)

Условие коллинеарности векторов:

a=λb или

(1.2.8)

Пример 1.2.4. При каком значении α векторы a(2,3,4) и

b(3, α,-1) перпендикулярны?

Используя (1.2.7), имеем ab=6+3α -4=0 или 3α =-2 , α =-2/3

Пример1.2.5.При каких значениях α и β векторы а(2,4,

α) и b(4,β,1)коллинеарны?

Используя условие коллинеарности векторов (1.2.8), имеем:

2/4=4/β=α/1. Откуда 4/β =1/2 или α/1=1/2, β

= 8, а α =1/2

Пример 1.2. 6. Найти вектор b, коллинеарный вектору a(l,-2,-2)

образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |b| =15.

Пусть вектор b имеет координаты bx , by, b

z, Из условия коллинеар­ности (1.2.8) имеем b = λа

или bx = λаx = λ , by

= λаy =-2λ , bz= λа

z=-2λ.

По формуле (1.2.6) вычисляем

Откуда |λ|=5 или λ=±5. Получаем два вектора b; b1

(5,-10,-10) и b2 (-5,10,10). Так угол между вектором b

и ортом j острый, то cos(b,j)>0 и ко­ордината by

>0. Поэтому в качестве вектора b выбираем вектор b2

т.е. b =-5 i+10 j+10k .

4. Векторное произведение векторов.

Необходимо обратить внимание студентов на определение правой и ле­вой троек

векторов (рис.1.2.6 и 1.2.7).

Рис.1.2.6

Рис.1.2.7

Тройка некомпланарных векторов a,b,c называется правой (рис.1.2.6) или

левой (рис.1.2.7), если будучи приведены к общему началу, эти векторы

располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой,

указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Векторным произведением векторов а и b называется вектор с,

который обозначается символом с=а´b и удовлетворяет

следующим трем условиям:

1) вектор с перпендикулярен плоскости векторов а и b;

2)образует с векторами а и b правую тройку;

3)длина вектора с

численно равна площади параллелограмма, постро­енного на векторах а

и b, т.е.

|с|= |a|×|b|sin(a b)

(1.2.9)

Из свойств векторного произведения следует обратить внимание на

антикоммутативность, т.е. a´b=-b´a

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10