Д),10.2.5,10.2.7), 11(11.2.1(а,б,в), 11.2.2(а,б), 11.2.3(а,б),

II.2.4) , 12 (12.2.1 (а, б, в, г) , 1.2.2.2, 12. 2. 4, 12. 2. 5 (в) ,12.2.7

(в) )].

Самостоятельная работа: [2, N 14.7(3,4), 14.21(11,12), 15.5(7,9,13),

15.45(4,7), 15.65(2,4), 16.18(6,12,20,21), 17.2(2,4,5),

19.1(2,3,5,8,10)], [7, гл.2, §1-3, N 2(2,4), 3(2,4), 19(3,5,6,8), 20(3,4),

22(3,4), 24(4,5,7,8), 25(3,5), 29(2)], [18, N 6, 11, 17, 25, 43, 44, 83, 84,

116, 118, 258-260, 270, 554, 690, 691, 698, 726, 727, 729], [20, ч.1, гл.3, §

1-4, N 3.2, 3.13, 3.56, 3.57, 3.79, 3.91, 3.85, 3.92, 3.110, 3.119, 3.124,

3.151, 3.152, 3.208, 3.211, 3.215], [25, задания 1, 2(2.3.1-2.3.5), 10, 11,

12].

Прямоугольной матрицей называется совокупность m∙ n чисел,

расположенных в таблице из m строк и n столбцов

Числа aji , i=1,m, j=1,n, входящие в данную таблицу, называются

матричными элементами, а индексы i и j элемента aji указывают

(соответственно) номера строки и столбца, в которых расположен элемент.

Если m=n, то матрица называется квадратной. Квадратная матри­ца из n строк и

n столбцов, называется матрицей n-го порядка. Каждой матрице порядка n

ставится в соответствие число, которое называет­ся определителем или

детерминантом этой матрицы и обозначается од­ним из следующих символов

Числа aij (i, j=1,n) называются элементами определителя.

Если определитель матрицы равен 0, то матрица называется осо­бенной

(вырожденной), а если определитель отличен от 0 - то матри­ца неособенная

(невырожденная).

Квадратная матрица называется симметрической, если aij = aji,

т.е. равны элементы, симметричные относительно главной диагонали (главная

диагональ образована элементами aji , i=1,n

Диагональной называется матрица, у которой все элементы, не принадлежащие

главной диагонали равны 0.

Единичная матрица - это диагональная матрица, у которой все элементы

главной диагонали равны 1. Обозначается единичная матрица буквами Е или I.

Пример 1.1.1.

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одина­ковые

размерности и равные соответствующие элементы.

Матрица АТ , полученная из данной матрицы А заменой

каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной

от­носительно А . Если матрица А имеет размеры m∙ n, то

матрица АТ имеет размеры n∙m.

Пример 1.1.2.

Линейными операциями над матрицами называются операции сложе­ния (вычитания)

и умножения на число. Сложение и вычитание опреде­ляется только для матриц

одинаковых размеров.

Суммой (разностью) двух матриц А={aij}mn и В={bij}mn называется

матрица С={cij}mn, для которой cij = aij ± bij , i=1,m, j=1,n.

Произведением матрицы А={aij}mn на число α называется матрица

В= α {aij}mn для которой bij = α aij , i=1,m, j=1,n.

Пример 1.1.3.

Даны матрицы

и число α = 4. Вычислить матрицы: С=А+В, D=A-B, М = а4

Умножение матриц А и В, т.е. получение произведения этих матриц С = АВ

, возможно лишь в том случае, когда число столбцов матрицы А равно

числу строк матрицы В . Такие матрицы называются согласованными.

Произведением двух согласованных матриц Аmk={aij}mk и Вkn={bij}kn

называется такая третья матрица Сmn={cij

}mn для кoторой каждый элемент cij

, i=1,m, j=1,n.вычисляется по формуле (рис. 1.1.1.)

Пример 1.1.4. Вычислить произведение матриц

Можно ли получить произведение BA ?

Число столбцов матрицы A(3) равно числу строк матрицы В(3).

Поэтому произведение АВ= С определено. Матрица С имеет

размер­ность 2х4, а её элементы вычисляются по формуле (1.1.2)

Произведение B∙A не определено, т.к. число столбцов матрицы B(4)

не равно числу строк матрицы А(2).

Определителем (1.1.1) матрицы второго порядка называется число

Определителем матрицы третьего порядка называется число

Студенту следует обратить внимание на правила треугольника и Сильвестра

вычисления определителей третьего порядка. Пример 1.1.5. Вычислить

определитель

Минором М ij (i, j=1,n) элемента а

ij определителя называется опре­делитель, который получается из

данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых

находится элемент аij .

Алгебраическим дополнением Аij (i, j=1,n)

элемента аij определи­теля называется его минор взятый со

знаком (-1)i+j, т.е.

Аij=(-1)i+j Mij (1.1.3)

Пример 1.1.6. Записать миноры и алгебраические дополнения элементов

определителя примера 1.1.5.

и т.д. Всего можно записать 9 миноров и 9 алгебраических дополне­ний

элементов и определителя матрицы третьего порядка.

Замечание Определители матриц n-го порядка (n =1,2...) короче называют

определителями n-го порядка.

Свойства определителей:

1) определитель не изменится, если транспонировать матрицу опреде­лителя;

2) при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак;

3) определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0;

4) общий множитель для элементов строки (столбца) можно вынести за знак

определителя;

5) определитель равен 0 , если все элементы строки (столбца) равны нулю;

6) определитель не изменится, если к элементам строки (столбца), прибавить

элементы другой строки (столбца), предварительно умно­жив их на один и тот же

множитель;

7) определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на

их алгебраические дополнения

Например:

Пример 1.1.7. Вычислить определитель примера 1.1.5., исполь­зуя свойство 7

определителей (разложение произвести по элементам первого столбца)

По аналогии с формулой (1.1.4) вводятся определители n-го по­рядка

Пример 1.1.8. Используя свойства 1-7 определителей, вычислить определитель

четвертого порядка

Матрицей, обратной к матрице А, называется квадратная матри­ца

А-1, такая что A-1 А = Е

Если матрица А невырожденная (det A¹O), то обратная

матрица А-1 находится по формуле

где Aij (i, j =

1,n)

- алгебраические дополнения элементов аij (1.1.3)

Пример 1.1.9. Найти матрицу, обратную к данной матрице

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10