|
'Канонические уравнения прямой имеют вид
3. Параметрические уравнения прямой
x = x0 + mt, y = y0 + pt, z = z0 + ut,
t є R (1.3.7)
Пример 1.3.5.В примере 1.3.4 от канонических уравнений прямой перейти к
параметрическим уравнениям.
Ряд равных отношений в канонических уравнениях прямой примера 1.3.4
приравняем к t:
Откуда получим параметрическиe
уравнения x=-t, y=t, z=2-t, t є R .
4.Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1, z1), М2(х2, у2, z2) .
Замечание. В уравнениях прямой (1.3.6) и (1.3.8) допускаете равенство нулю одной
или двух координат вектора а(т,п,р). В этом случае нуль в
знаменателе воспринимается только лишь как информация о координатах вектора
а .
Задачи, относящиеся к плоскостям
Пусть заданы две плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0
1.Взаимное расположение двух плоскостей:
а)условие перпендикулярности плоскостей:
A1A2+B1B2+C1C2
=0
(1.3.9)
б)условие параллельности плоскостей
2.Угол между плоскостями:
3. Расстояние от точки М0 (х0, у0, z0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0:
Пример 1. 3 . 6 . Найти расстояние между параллельными плоскостям
2х+3у-z+1=0 2x+3y-z+4=0.
Это расстояние равно расстоянию от любой точки одно плоскости до другой.
Выберем на первой плоскости произвольную точку, например М0 (0,
0,1). По формуле (1.3.12) находим
Пример 1.3.7.Найти угол между плоскостями х- 3у+z-1= 0 и y+z+2=0. По
формуле (1.3.11) находим
Замечание. Как правило, вычисляется острый угол между плоскостями.
Задачи относящиеся к прямым в пространстве
Пусть заданы две прямые в пространстве
1.Взаимное расположение двух прямых:
а) условие перпендикулярности прямых:
m1m2+n1n2+p1p2
=0
(1.3.14)
б) условие параллельности прямых:
2.Угол между прямыми :
3. Расстояние от точки М (x1,y1,z1) до прямой
а векторное произведение вычисляется по формуле (1.2.10).
 4. Условие пересечения
прямых. Прямые задаются уравнениями (1.3.13). Рассмотрим смешанное
произведение a1 a2 M1M2 ,
a1 ≠ λa2
 Если a1 a2
M1M2 = 0
(1.3.18)
 то прямые пересекаются, если
a1 a2 M1M2 ≠ 0
(1.3.19)
то прямые скрещиваются. Смешанное произведение векторов вычисляется по
формуле (1.2.11).
 5. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Прямые заданы уравнениями (1.3.13). Если a1 a2 M
1M2 ≠ 0 то расстояние d между прямыми вычисляется по
формуле
Пример 1.3.8.Исследовать взаимное расположение прямых
 
Первая прямая проходит через точку M1(1,-1,-2), a вторая прямая через
точку М2(2,1,1) . Направляющие векторы прямых a1
(2,3,4) и a2(3,-1,1) .
Вычислим смешанное произведение a1 a2 M1M2
Так как выполняется условие (1.3.19), то прямые скрещиваются.
Пример 1.3.9.Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми примера
1.3.8. Используем формулу (1.3.20).
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть плоскость задана уравнением (1.3.2), а прямая-уравнением (1.3.6) , либо
уравнением (1.3.7), тогда n(A,B,C)— нормаль к плоскости,
a(т,п,р) направляющий вектор прямой.
Рис.1.3.1 Рис.1.3.2
1.Условие перпендикулярности прямой и плоскости
2.Условие параллельности прямой и плоскости:
па = 0 или Am + Вп + Ср = 0 .
(1.3.22)
3.Угол между прямой и плоскостью (рис.1.3.1)
4.Координаты точки пересечения прямой и плоскости находятся из
системы уравнений (1.3.2) и (1.3.7), а именно
 Ax+By+Cz+D=0
x=x0+mt
y=y0+nt
(1.3.24)
z=z0+pt
5. Проекция точки M1(x1,y1,z1)
на прямую (рис. 1.3.2). Координаты точки Р определяются из системы
где плоскость (α) проведена через точку M1 перпендикулярно прямой L.
Прямая линия на плоскости
Уравнение прямой линии на плоскости может быть получено из канонических
уравнений прямой в пространстве (1.3.6), если положить z0 =
0 и р=0
В зависимости от условий задачи уравнение прямой на плоскости может быть
записано в виде:
a)y=kx+b-
(1.3.27)
уравнение прямой с угловым коэффициентом;
б)ах+bу+с=0 -
(1.3.28)
общее уравнение прямой
в)y=y0+k(x-x0)-
(1.3.29)
уравнение прямой, проходящей через точку Мо(хо,
yо) и имеющей заданный угловой коэффициент k;
уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между двумя
прямыми у = k1x+b1 и у = k2x+ b2
определяется по формуле
Условия параллельности и перпендикулярности прямых имеет вид:
k1 = k2
(параллельности) (1.3.32)
k2 = -1/k1 (перпендикулярности) (1.3.33)
Пример 1. 3.10. Треугольник задан координатами вершин A1(1,2), А
2(4,0), A3(6,3) . Написать уравнения:
1) стороны А1А3 ;
2) медианы, проведенной из вершины А2 ;
3) высоты, проведенной из вершины А2
1) Воспользуемся уравнением (1.3.30)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
| 
