Δу

			х

х0 х0 + Δх

Производная функция у = f(х), в точке х0 определяется как предел

отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при

стремлении Δх к нулю. f `(x0) = lim (Δf/Δx). Этот

предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю

(приращение функции Δf→0).

Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя.

Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции.

Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее

изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается

через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) –

производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой

переменной (аргумента) ∆х.

Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы

производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х,

называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в

каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.

Правила дифференцирования функций.

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)

2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)

3. (C*U(x))` = CU`(x), C - const

4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V2(x)

Таблица производных.

1. C` = 0, C – const.

2. x` = 1

3. (xα)` = α xα – 1, α Є R

4. (ax)` = ax lnx, a>0 , a≠1

5. (ln x)` = 1/x

6. (sin x)` = cos x

7. (cos x)` = - sin x

8. (tg x)` = 1/(cos x)2

9. (ctg x)` = - 1/(sin x)2

10. (arcsin x)` = 1/2)

11. (arccos x)` = - 1/2)

12. (arctg x)` = 1/(1 + x2)

13. (arcctg x)` = - [1/(1 + x2)]

правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив

соответствующее правило взятия производной на dx.

Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.

Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x2, если х = 1, ∆х = 0,1

Решение: f(х) = х2, f(х+∆х) = (х+∆х)2

Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)2

– x2 = x2+2x*∆x+∆x2 – x2

= 2x*∆x + ∆x2/

Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)2

= 0,2+0,01 = 0,21

Пример 2. Найти производную функции f(x) = x2, в произвольной точке х

по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.

∆x→0

Решение: (х2)` = lim ∆f / ∆х

Из первого примера ∆f = 2x*∆x+∆x2, подставим, получим

∆x→0

∆x→0

∆x→0

(x2)` = lim ∆f / ∆х = lim (2x*∆x+∆x2

)/∆x = lim [∆x (2х + ∆х)]/ ∆x = 2x

Пример 3. у = 1-х, Найти ∆у при х=2, ∆ = 0,1

Решение: у(х) = 1-х, у(х+∆х) = 1 – (х+∆х),

∆у = у (х+∆х) – у(х) = 1-х - ∆х – (1 – х) = 1-х - ∆х

– 1 + х = - ∆х

при х = 2, ∆х = 0,1 ∆у = -∆х = -0,1.

Пример 4. Найти производную от функции у=3х4 – 2х2 + 1.

Решение у` = 3*4х3 – 2*2х + 0 = 12х3 – 4х.

Пример 5. Найти производную от функции у = x2 *℮х.

Решение: у` = (x2)` *℮х + x2 *(℮

х)` = 2x ℮х + x2 *℮х

ln℮

ln ℮ = log℮℮ = 1. y` = 2x℮x + x2 * ℮x

Пример 6. У = х/(х2+1). Найти у`.

Решение у` = [1*(х2+1) – х*2х] / (х2+1)2 = [х

2+1 – 2х2] / (x2 +1)2 = (1-x2)

/ (x2+1)2

Производные от сложных функций.

Формула для нахождения производной от сложной функции такова:

[f (φ(х))]` = fφ`(φ(x)) * φ`(x)

Например: у = (1-х2)3; у`= 3(1 –х2)2 * (-2х) или у = sin2х; у` = 2sinx * cosx.

Пример 7 . Найти dy, если у = sin 3х

Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx.

Пример 8. Найти dy, если у = 2х^2/

Решение: dy = y` * dx = (2x^2)` * dx = 2x^2 ln2 * 2xdx

Производные высших порядков.

Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х). Производная от

этой производной и называется производной второго порядка от функции f(х) и

обозначается у`` или f `` (х) или (d2y) / (dx2).

Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка у``` =

f ```(x) = (d3y) / (dx3).

производная четвертого порядка уIV = f IV(x) = (d4y) / (dx4).

производная n-oго порядка у(n) = f (n)(x) = (d n y) / (dxn).

Пример: у = 5х4 – 3х3 + 2х – 2. Найти у``.

Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х3 – 9х2

+2, потом вторую от первой производной: у`` = 60х2 – 18х.

Пример. y=хsinx. Найти у```.

Решение. y` = sinx + xcosx

y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx

y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.

Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на

интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие

F ` (x)=f(x).

Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х2 для

любых х Є (-∞, ∞).

Действительно, F`(x) = 2x = f(x).

F1(x) = x2 + 2 так же является первообразной для f(x) =

2x, F2(x) = x2 – 100 первообразная той же функции f(x) =

2x.

Теорема. Если F1(x) и F2(x) первообразные для

функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что

справедливо равенство:

F2(x) = F1(x) + C,

Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции

отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на

интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

f(x)dx, где - знак

интеграла, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение.

Таким образом

f(x)dx = F(x) + C,

F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется

интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ((f(x)dx)` =

f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному

выражению. d(

f(x)dx) = f(x)dx.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой

функции с точностью до постоянного слагаемого.

d(F(x)) = F(x) + C.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, где к - число

5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

(f(x) +φ(x))dx = f(x)dx + φ(x)dx.

Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу

неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.

Таблица неопределенных интегралов.

1. хα dx = [xα+1 / (α +1)] +C, α ≠ -1, α Є R

2. dx/x = ln│x│+C

3. ax = (ax/ln a)+C, exdx = ex+C

4. sinx dx = -cosx + C

5. cosx dx = sinx + C

6. dx/(cosx)2 = tgx + C

7. dx/(sinx)2 = -ctgx + C

8. dx /2-x2) = (arcsin x/a) + C

9. dx / 2 – x2) = (-arccos x/a) +C

10. dx / a2 +x2 = 1/a arctg x/a +C

11. dx / a2 +x2 = - 1/a arcctg x/a +C

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13