Находим первообразную для функции х2, т.е. неопределенный интеграл от

х2, произвольную постоянную С приравняем к нулю.

0

= x3/3 │ = 1/3 – 0/3 = 1/3

2) Подставим в первообразную х3/3 вначале значение верхнего

предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.

	π/2

2

π/6

Пример 1. Вычислить │= sin π/2 – sin π/6 = 1 – ½ = 1/2

-1

Пример 2. Вычислить │ = 22 – 24/4 – [ (-1)2 – ((-1)4/4)] =

= 4 – 4 –(1- (1/4)) = -3/4.

Тема 14. Несобственные интегралы.

Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке [а;

b], когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена)

на конечном отрезке [а; b]. Если отрезок интегрирования бесконечен, или

функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием

несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

. Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.

= Ф(х), х ≥ а.

Определение.

– называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [а;¥),

вводится он как предел функции Ф(t) при t ®¥, т.е.

t→∞

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется

сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный

интеграл называется расходящимся.

∞

Пример 1. Вычислить

x→∞

2

Решение = lnx

│ = lim lnx – ln2 = ∞ - ln2 = ∞. Интеграл расходится.

∞

Пример 2. Вычислить

x→∞

∞

1

1

Решение =

= x –2/-2 │ = -1/(2x 2) │= -1/2 (lim 1/x

2 – 1) = -1/2 (0-1) = 1/2

Интеграл сходится к ½.

По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-¥, b].

b→ −∞

Определение сходимости аналогично предыдущему.

Вводится понятие несобственного интеграла на интервале (-¥; ¥).

, а – некоторое число.

Интеграл сходится,

если оба интеграла

и сходящиеся, если

же один из них расходится, то

- расходится.

Пример 3. Вычислить .

0

Решение. .

x→ -∞

-∞

Рассмотрим = ex │ = e0 – lim ex = e0 – 1/e∞ = 1-0 = 1.

∞

Интеграл сходящийся к 1.

x→ -∞

0

Рассмотрим = ex │ =lim ex - e 0 = e∞ – 1 = ∞.

Этот интеграл расходится, значит - расходящийся несобственный интеграл.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл

. этот интеграл называется интегралом Эйлера-Пуассона.

Доказано, что 2p).

Несобственные интегралы от разрывных функций.

х→в-0

Если y = f(x) непрерывна на [а; b), но lim f(x) = ¥, то вводится понятие

несобственного интеграла от разрывной функции.

ε→0

ε→0

Определение. Если существует и конечен предел lim

, где e > 0, то он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на

интервале [а; b) и обозначается

, т.е. = lim

В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в противном

случае – расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла

х→а+0

ε→0

= lim , если lim f(x) = ¥

δ→0

Пример 4. Вычислить = 2х1/2 │ = 2( -lim) =2.

Интеграл сходится к 2.

Тесты к теме 1.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13