|
отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые числа
и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа,
которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, такие
как π ,  , 
и т.д. 5) комплексные числа, вводящие в рассмотрение «мнимое число» 
.
История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам по
школьному курсу.
С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида z = x+iy для
решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где
i = , i² = –1, х и у – вещественные числа
Само число z = x + i y называется комплексным, а i =
, мнимой единицей. Нельзя назвать число i ни положительным ни отрицательным.
«Мнимые числа – поразительный полет духа божьего» – писал Лейбниц в 1702
году. Сегодня комплексные числа прочно вошли в математический аппарат. Языком
комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике, технике.
Пример. Найти корни уравнения х²+x+1=0.
1) Находим дискриминант Д= 1 – 4 = –3 < 0; 2) Находим корни уравнения х
= (-1+ )/2 = (-1+i
)/2;
х = (-1- )/2 = (-1-i )/2;
Это уравнение имеет комплексные корни, где i = .
Итак, число z = x + i y называется комплексным числом. x = Rez - называется
вещественной частной числа, y = Im z - называется мнимой частного числа, х и
у - вещественные числа.
Например, 1) z = 2 + 3i, Rez = 2 - вещественная часть числа, Im z = 3 мнимая
часть числа.
2) z = -15 + i, Rez = -15 - ввещественная часть числа, Im z =1 - мнимая часть
числа.
Свойства комплексных чисел
1. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его
вещественная и мнимая части, т.е. z = 0 <=> Rez = х=0, Im z =у=0.
(<=> - знак эквивалентности, или можно заменить слова «тогда и только
тогда», необходимо и достаточно).
2. Если мнимая часть числа Im z =у=0, то z = х есть вещественное число,
т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.
Например, . z = 5+i0 = 5. Мнимая часть числа 5 равна 0.
3. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда
соответственно равны их вещественные и мнимые части. Пусть. z
= х +iy
, z = х
+iy , z
= z если х
= х и y
= y .
4. Множество комплексных чисел неупорядоченное множество, т.е.
из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя
комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства >или<.
Например, z = 10+15i, z = 2-100i. Нельзя сказать которое из двух чисел больше.
Определение. Числа z = x + i y и  = x - i y называются комплексно сопряженными.
Например, z = -2 + 3i,  = -2 - 3i
z = 1 – i,  = 1 + i
Действия над комплексными числами.
Если два комплексных числа складывать, перемножать или делить друг на друга,
то мы получим новое комплексное число.
Пример 1. Дано z = -1
+ 2i, z = 3 - 5i.
Найти z + z
. Решение z + z
= -1 + 2 i + 3 - 5i = 2 - 3i, т.е. складываются вещественные части и мнимые
части.
Пример 2 Дано z = 2 +
3i, z = -1 + i.
Найти z - z
. Решение z - z
= 2 + 3 i –(-1 + i) = 2 + 3i + 1 – i = 3 + 2i. т.е. складываются вещественные
части и мнимые части.
Пример 3 Дано z = -1 +
2i, z = 3 - 5i.
Найти z * z
. Решение, z * z
= (-1 + 2 i )*( 3 - 5i ) = -3 + 6i +5i – 10 i² = - 3 +10 +11 i = 7+ 11 i,
надо помнить, что i² = - 1.
Пример 4 Дано z = 2 - i, ,  = 2 + i. Найти z *  .
Решение z *  = (2 –
i ) *(2+ i ) = 2² - i² = 4+1 = 5, где i² = -1. Произведение
комплексно сопряженных чисел есть вещественное число равное сумме квадратов
вещественной и мнимой частей.
Например, 1) z = 1 + i,  = 1 – i, z *  =1² + 1²=2
2) z = 3 + 5i,  = 3 - 5i, , z *  =9 + 25=34
Пример 5 Дано z = -1 +
i, z = 2 - 3i. Найти
z = (1 + i)/(2 - 3i). Решение z = (1 + i)/(2 - 3i) = (1+ i)(2 +3i) / (2 –
3i)(2+3i) = (2 +2i +3i +3i²)/ (4+9) = (2 – 3 + 5i)/13 =
= -1/3 + (5/13)i. Чтобы выделить вещественную и мнимую часть числа z надо
числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю.
Рассмотрим еще один подобный пример.
Произвести действие, выделить вещественную и мнимую части числа
(2 + i)/(1 + 2i).
Решение. (2 + i)/(1 + 2i) = (2+ i)(1 -2i) / (1 + 2i)(1 - 2i) = (2 +i - 4i -
2i²)/ (1 +4) = (2 + 2 - 3i)/5 = (4 - 3i)/5= 4/5 - (3/5)i.
Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy.
 Выберем декартову прямоугольную
систему координат. По оси абцисс отложим вещественную часть числа х, по оси
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
