|
12.  dx / a2 -x2 = 1/2a ln │x+a/x-a│ +C
13.  dx /  a2 +x2) = ln │x+  2+x2)│ +C.
Пример 1. Вычислить  (2х2 -3 -1)dx.
Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой
табличной формулой. 
(2х2 -3
-1)dx = 2 х2
dx - 3 х1/2
dx -  dx=
= 2(x2/2) – 3[(х3/2 *2)/3] – x + C = x2 - 2 3 – x +C.
Пример 2.  (2/ -1/х + 4sinx)dx =  2х –1/2dx – ln │х│ - 4cosx + C =
= 2[(x1/2 *2)/1] – ln │x│ - 4 cosx +C = 4
-ln│x│- 4cosx + C.
Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод
непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной),
метод интегрирования по частям.
Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не
являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются
«неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в
элементарных функциях.
Например,  e
–x^2 dx,  sinх
2 dx,  cosх
2 dx,  sinx/x
dx,  cosx/x dx, 
dx/lnx – «неберущиеся» интегралы , т.е. не существует такой элементарной
функции, что F `(x) = e –x^2, F ` (x) = sinx2 и т.д.
Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.
Формула Ньютона - Лейбница.
Понятие интегральной суммы.
Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п
элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2
, ., хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi
] выберем произвольную точку Сi и положим
∆хi = xi – xi-1, где i = 1,2,.,п, в
каждой точке Сi найдем значение функции f(Ci), составим
произведения f(C1)∆x1, f(C2)∆x
2, ., f(Ci)∆xi, ., f(Cn)∆x
n, рассмотрим сумму этих произведений:
f(C1)∆x1 + f(C2)∆x2 + .
+ f(Ci)∆xi + . + f(Cn)∆xn
= Σ f(Ci)∆xi.
Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а,
в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п
частей так и от выбора точек С1, С2, ., Сп на
каждом элементарном отрезке разбиения.
Геометрический смысл интегральной суммы.
Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1
y = f(x)
у
S1 S2 S3
0 а=х0 в1 х1 с2 х2 с3 х3 =в х
Рис.1
Пусть п=3, тогда а = х0, х1, х2, х3=в.
С1 ,С2 ,С3 точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.
S1 = f1(C1) ∆x1 – площадь
прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х1
= х1-х0,
S2 = f2(C2) ∆x2 – площадь
прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения. ∆х2
= х2-х1,
S3 = f3(C3) ∆x3 – площадь
прямоугольника, построенного на третьем отрезке разбиения. ∆х3
= х3-х2,
S = S1 + S2 +S3 = f1 (C1
)∆x1 + f2 (C2)∆x2 + f
3 (C3)∆x3 = Σ f(Ci)∆x
i.
Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.
Понятие определенного интеграла.
Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ∆хi
, где i=1,2,.п
Определение. Пусть предел интегральной суммы Σ f(Ci
)∆xi при стремлении max ∆хi к нулю существует,
конечен и не зависит от способа разбиения отрезка
[a, в] на части и от выбора точек С1, С2, ., Сп
. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на
[а, в] и обозначается 
, т.е  = lim Σ
f(Сi)∆xi при
max ∆xi →0
Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) –
подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.
Некоторые свойства определенного интеграла.
10 . Значение определенного интеграла не зависит от обозначения
переменной интегрирования, т.е.
 =  =  и т.д.
20.  есть число.
30.  = -  , а<b
40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
 = m  , где m – const.
50. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
60. Если отрезок интегрирования разбит на части (a < c < b), то
интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей.
  =  ,
Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые подводят нас
к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется
формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на [а; b].
 = F(b) – F(a), где F(x) некоторая первообразная для функции f(x).
Например,  - вычислить.
1)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
