|
∆х1=∆х2=∆х3 отличен от нуля,
то система несовместна.
Если определитель системы ∆=0, и ∆х1=∆х2
=∆х3=0, то система имеет бесконечное множество решений.
(неопределенная система).
Пример. Решить систему уравнений:
 Х + 2у – z = 1
-3х + у = 2z = 0
х + 4у + 3z = 2
1) Вычислим определитель системы ∆ = 
= 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) =
19+11 = 30.
Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.
2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х =  = 5; ∆у =  = 13; ∆z =  = 1.
3) По формулам Крамера находим решение системы:
Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z =
∆z/∆ = 1/30;
Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).
По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Пример Решить систему уравнений.
 х - у+z=1
х + у – z=2
5х + у – z=7
1) Составим и вычислим определитель системы ∆=  = 0.
2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х = = 0, ∆у =  = -2
Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система
несовместна, т.е. она не имеет решения.
Тема 7. Алгебра матриц.
 Определение. Таблица,
составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n,
а11 а12 а13.а1п
а21 а22 а23.а2п
...... = Ам*п= //аij//
ам1 ам2 ам3.амп , где
m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами
матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит
элемент.
Разновидности матриц.
1. Матрица называется прямоугольной, если m≠n.
2. Матрица называется квадратной, если m=n.
3. Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.
4. Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.
 Например, 1) 1 2 3 = А
2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три)
 0 –1 5
2) 1 2 - квадратная матрица.
3 4
3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка.
4)  7
12 матрица столбец.
5
3
5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц,
расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.
  Например, 1 0 0 5 1 –3
2 6 0 или 0 4 2
-1 –2 8 0 0 -1
6)  Квадратная матрица
называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной
диагонали, равны нулю.
Например, 1 0 0
0 –2 0
0 0 5
7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной
матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.
 1 0 0
Е = 0 1 0
0 0 1 .
Алгебра матриц.
1. Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п
одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.
Ам*п = Вм*п ó аij = bij (i =  , j =  )
ó этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,
обозначение (i =  )
применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.
2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij//
и Вм*п = //вij// называется матрица См*п,
элементы которой Сij = аij + вij . Cm*n
= Am*n + Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой
соразмерности.
  Нпример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5
   
3 1 –6 , 1 –6 4 , то
А+В = 1 –2 4 -3 2 5 1-3 -2+2 4+5
-2 0 9
3 1 –6 1 –6 4 , 3+1 1-6 6+4
4 –5 –2
3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число
надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
αА = //α aij//.
Например, вычеслить 4 А, если А =
 4А = 4 *
4. Умножение матриц. Произведением матрицы Ам*е на матрицу В
е*п называется матрица См*п (Ам*е*Ве*п=С
м*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»:
сij =aijbij + ai2b2j +.+ aiebej
(i=  ; j= 
) , т.е. для вычисления сij следует элементы i – строки левой матрицы
Ам*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца правой
матрицы Ве*п и полученные произведения сложить.
Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет
смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго
сомножителя.
 Замечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ≠ВА.
Пример. Вычислить АВ, если А = В =
Решение: АВ=С
С= * =
=
С11=1*3+2*2=7; | С12=1*4+2*(-1)=2 | С13=1*1+2*(-2)= -3 | С14=1*3+2*4=11 | С21=2*3+4*2=14; | С22=2*4+4*(-1)=4 | С23=2*1+4*(-2)= -6 | С24=2*3+4*4=22 | С31=3*3+1*2=11 | С32=3*4+1(-1)=11 | С33=3*1+1*(-2)=1 | С34=3*3+1*4=13 |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
