|
ординат отложим мнимую часть числа у, получим на плоскости точку z с
координатами ( х,у )
 0
Рис.1
Ось ох называется вещественной осью
Ось оу называется мнимой осью.
Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.
Пример. Построить числа z
=1+ i; z =2 i, z
= -2+3 i; z = -1/2 i,
z =1 - i, z
=-1-2 i Рис2.
Тема 4. Аналитическая геометрия. Координатный метод. Прямая линия на плоскости.
Аналитическая геометрия - область математики, занимающаяся изучением
геометрических задач методом координат. Основная идея аналитической геометрии
проста: положение точки на плоскости можно описать двумя числами и, таким
образом, перевести любое утверждение о точках в утверждение о числах.
Основоположниками метода координат принято считать Рене Декарта (1596-1650) и
Пьера Ферма (1601-1665).
Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается так:
выбираются две взаимоперпендикулярные прямые с выбранным положительным
направлением на каждой прямой - оси координат, точка пересечения прямых –
начало координат. Выбирается на осях координат единица масштаба.
Рис 1
Ось ох – ось абцисс.
Ось оу – ось ординат
О – точка пересечения осей, начало координат.
Положение всякой точки плоскости определяется ее расстоянием от осей
координат. Эти расстояния называются координатами точки. Например, точка М
имеет координаты х и у – М(х,у). Рис 1.
х – абцисса точки М, у – ордината точки М.
Координатам приписывают знаки, зависящие от расположения точки в различных
частях координатной системы.
Пример. Построить точки: А(3,2); В(-1,4); С(-2,0); Д(-1,-1/2); Е(1,-1).
Рис 2.
0
Расстояние между двумя точками на плоскости М1(х1,у1
) и М2(х2,у2) определяется по формуле М1
М2 =  (х
2-х1)2+(у2-у1)2.
Например, найти АВ, если А (1,2); В (-2,-2). Используя формулу, получим
АВ=корень  =
= =
=5.
Соотношение, характеризующее зависимость между координатами х и у точек кривой
называется уравнением этой кривой. Например: у+2х-1=0 – уравнение прямой, х
2+у2=4 – уравнение окружности.
Координаты любой точки, лежащей на кривой, удовлетворяют уравнению кривой, а
координаты точек, на кривой не лежащей, уравнению не удовлетворяют. Например,
проверим лежит ли точка А (1,2) и В (0,1) на прямой у+2х-1=0. Для этого
подставим координаты каждой точки в уравнение прямой.
1) А(1,2)-2+2-1 0, вывод: точка А не принадлежит прямой.
2) В(0,1)-1-1=0, вывод: точка В лежит на прямой.
Любое уравнение первой степени относительно переменных х и у, называется
линейным, оно есть уравнение прямой линии.
Ах+Ву+С=0, где А, В, С – вещественные числа, есть общее уравнение прямой.
Например, х+у-1=0, у=2х, х=3, у= -1. Эти уравнения – есть уравнения прямых.
Построим эти прямые на плоскости Рис 3. Положение любой прямой определяется
двумя точками. Найдем точки пересечения прямой х+у-1=0 с осями координат.
А(0,1); В(1,0). Через эти точки проводим прямую.
У=2х – прямая проходит через начало координат, т.к. координаты начала О(0,0)
удовлетворяют уравнению прямой, подберем точку С(1,2) – лежащую на прямой,
проведем прямую через точки О и С. Рис 4.
0
Прямая х=3 параллельна оси оу, прямая у=-1 параллельна оси ох. Рис 5.
 0
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
у=Кх+в, К=tg φ – коэффициент, φ – угол, который прямая составляет с
осью абцисс, в - отрезок, который прямая отсекает от оси ординат. Рис 6.
Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Например, у=2х+3,
у=2х - 5 эти две прямые параллельны, т.к. К1=2; К2=2; К
1=К2.
Если две прямые перпендикулярны, то К2= -1/К1. Например,
у=2х+3, у= -(1/2)х - 1. Эти прямые перпендикулярны, т.к. К1=2, К
2=-1/2; К2= -1/К1.
Пример. Указать какие из следующих пар прямых параллельны, а какие
перпендикулярны.
1)3х - у+7=0 6х - 2у-1=0 | 2) 3х - у+5=0 х+3у - 1=0 | 3)3х - 4у+1=0 4х + 3у+7=0 |
Решение. 1) Найдем условные коэффициенты обеих прямых, для этого каждое
уравнение разрешим относительно у.
у=3х+7, у=3х - 1/2. Эти прямые параллельны, т.к. К1=К2=3
2) Разрешим каждое уравнение относительно у
У=3х+5, у= -1/3х+1/3, К1=3, К2= -1/3, т.к. К2
=-1/К1, то мы можем сказать, что эти две прямые перпендикулярны.
3) Разрешим каждое уравнение относительно у
у = 3/4х+1/4, у = - 4/3х +х/3; К1 = 3/4, К2 = 4/3
Эти прямые не являются параллельными, т.к. К1≠К2,
эти прямые являются перпендикулярными, т.к. К2= -1/К1
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
у - у0=К (х - х0) – уравнение прямой, проходящей через
данную точку М0 (х0,у0), в данном направлении,
т.е. К известен.
Задача. Через точку М0(1,-2) провести прямую ℓ параллельную
прямой у = 2х - 1
Решение. Уравнение прямой ℓ запишем в виде у-у0=К(х-х0
). Х0 и у0 – нам даны, это х0=1, у0
=-2, К – угловой коэффициент найдем из условия параллельности двух прямых К=2.
у+2=2(х - 1) – искомое уравнение или 2х – у - 4=0
Тема 5. Кривые второго порядка.
К кривым второго порядка относят кривые, записанные уравнением Ах2 +
Вху + Су2 + Ех + Ду + F = 0. В зависимости от значений коэффициентов
(вещественные числа) это могут быть окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Эти кривые были известны с глубокой древности. Все эти кривые суть сечения
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
