7 2 –3 11 14 4 –6 22 11 11 1 13

Ответ: А*В=С=

Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2 ,

В = 2 1

3 4

1 3

Сравним эти произведения.

*

=

1) С=АВ= 1 2 2 1 4 7

3 4 1 3 10 15

С11 = 1*2+2*1=4; С12 = 1*1+2*3=7;

С21 = 3*2+4*1=10; С22 = 3*1+4*3=15

=

*

2) Д=ВА= 2 1 1 2 5 8

1 3 3 4 10 14

d11=2*1+1*3=5; d12=2*2+1*4=8

d21=1*1+3*3=10; d22=1*2+3*4=14

Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А=(4 0 -2 1); В=

Решение: АВ=(4 0 -2 1)* =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)

Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.

Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается

матрица из одного элемента – число.

5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами,

то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и

обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А.

6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и

обозначается символом Ø. А+Ø=А.

Основные свойства операций над матрицами:

А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В)

= αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ);

(АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат.

Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в

приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать

значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное

компактной форме.

Пример. Каждое из трех

предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида

в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3

1 3 4 ,

Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На

какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?

Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)

1 3 4

Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.

Второе – на 55 тыс. руб.

Третье – на 90 тыс. руб.

Тема 8. Понятие множества.

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более

простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов.

Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого

множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество

предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множество обозначаются

прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А,

то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то

пишут в Є А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается

Ø. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0

есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним,

то множество В называется подмножеством множества А и обозначается

В С А.

Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-

первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех

элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.

Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е,

f, с, к}

Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех

элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д =

А∩В.

Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2)

если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов

множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.

Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.

Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти

объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

А∩В = {6, 8}

А \ В = {1, 3}

Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов,

в противном случае оно называется бесконечным.

Множества элементами, которых являются действительные числа, называются

числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество

действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых

чисел, N – множество натуральных чисел.

Очевидно, что N С Z C Q C R

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой

прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета,

положительные направления и единица масштаба.

			х

Рис.1

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует

взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу

соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке

прямой – определенное вещественное число.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в,

называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х

удовлетворяют неравенству а<x<в - открытым интервалом (а, в);

неравенствам а ≤ х < в или а< х ≤ в, называется

полусегментами соответственно [а, в) и (а, в].

Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

х, если х ≥ 0 -х, если х < 0

Абсолютной величиной (или

модулем) действительного числа х называется само число х, если х

неотрицательно, и противоположное число – х, если х – отрицательно:

/х/=

По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.

Свойства абсолютных величин:

1. │х+у│ ≤ │х│+│у│,

2. │х-у│ ≥ │х│ - │у│,

3. │ху│ = │х│*│у│,

4. │х/у│ = │х│/│у│

Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х

≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать:

-ε< -│х│≤ х ≤│х│<ε, или

-ε<х<ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε,

ε).

Рассмотрим неравенства │х-а│<ε (где ε>0). Решениями

этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а

- ε<х<а+ε.

Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.

Интервал (а – ε,

а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│<ε (где

ε>0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон,

буква греческого алфавита).

Рис.2

			х

а – ε а а+ε

Тема 9. Функция. Классификация функций.

Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут

быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13