|
закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У,
то говорят что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение
множества Х во множество У).
Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у =
ƒ(х) образуют множество значений функции – У.
х – независимая переменная (аргумент).
у – зависимая переменная,
ƒ – закон соответствия, знак функции.
Пусть Х и У множества вещественных чисел.
Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1
Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞),
область значений является множество У = [0, ∞).
Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).
Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.
х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не
существует в этих точках. Областью определения является объединение таких
множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).
Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1).
Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) –
область определения функции.
Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках
х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.
Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | -
1| / 1= 1;
f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не
входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.
f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.
Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х – 1.
Найти значение этой функции при 1) х=а2 – 1, 2) х = 1/t.
Решение: 1)f(а2 – 1) = 3(а2 – 1)2 + а2
– 1 – 1=3а4 – 6а2 + 3 + а2 - 2 = 3а4
– 5а2 + 1.
2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t – 1 = (3 + t – t2)/t2.
Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.
а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все
функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.
б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей
значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов.
в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество
точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а
ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).
Например, у = х2 (Рис.1); у =  (Рис.2)
  
у
у
0 х 0
х
Рис. 1.
Рис. 2.
 Г) Описательный способ, если
функция записывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:
1, если х – рациональное число.
f(х) =
0, если х – иррациональное число.
Основные элементарные функции.
Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные.
Перечислим их:
1. у = хп, у = х –п, у = хм/п, где п, Є N,
м Є Z. Эти функции называются степенными.
2. Показательная функция у = ах, а > 0, а ≠ 1.
3. Логарифмическая функция у = logах, а>0, а ≠ 1
4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.
5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у =
arctg х,
у = arcctg х.
Сложная функция. (суперпозиция функций).
Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на
множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от
переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда
заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией
(функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х
можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.
Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных
элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий
называются элементарными.
Например, у =  )/(sin2х+3) или у = 2 - tg х.
   
Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен
на рис. 3.
У
Рис.3
Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.
1 класс алгебраических функций:
а) у = А0хп + А1хп-1 + А2
хп-2 + . + Ап-1х + Ап, это многочлен (полином)
п – степени или целая алгебраическая функция, где А0, А1,
А2, . , Ап – вещественные числа, коэффициенты многочлена.
б) у = ( А0хп + А1хп-1 + . + Ап
)/(В0хм + В1хм-1 + . +Вм
), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух
многочленов.
в) Иррациональная функция, например, у =  + х2.
2 класс трансценденных функций.
а) у = ах, а > 0, а ≠1, показательная функция,
б) у = logах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,
в) все тригонометрические функции,
г) все обратные тригонометрические функции,
д) функции вида у = хL , где L – иррациональное число. Например, у = хπ.
Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Понятие о
непрерывности функции.
Определение. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал
(а-ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х -
а|< ε.
Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в
некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.
Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого
сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое
δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство
|f(x) - b|<ε.
В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.
(lim – сокращенное слово limit(предел)).
Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.
 При отыскании предела мы не
учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3,
4.
 y
y
f(a) y= f(x)
y = f (x)
b
 
0 a x
а х
Рис.1 Рис.2
 y
 
f(a)
 f(a)
 
0 a x
0 a x
Рис.3 Рис.4
На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2)
значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) =
b . На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
