прямого кругового конуса плоскостями (конические сечения).

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний

которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть

величина постоянная 2а, большая F1F2. Каноническое

уравнение (простейшее) уравнение эллипса: х2/а2 + у

2/в2 =1

Эллипс, заданный таким уравнением симметричен относительно осей координат

(рис 1)

М (х,у) – произвольная точка эллипса, (х,у) – текущие координаты этой точки. Все

точки эллипса удовлетворяют условию: F1M + F2M=2a.

а,в называются полуосями эллипса, а – большая полуось, в – малая полуось. F

1 и F2 – фокусы эллипса находятся на оси ох на расстоянии С=

2 – в2) от центра О. Отношение с/а = Е называется

эксцентриситетом эллипса.

Пример 1. 1)Написать уравнение эллипса, если а=4, в=3; 2)Найти координаты

фокусов; 3)Найти Е.

Ответ: 1) х2/16 + у2/9=1; 2) С= = , F1 (- , 0); F2 ( , 0); 3)Е = с/а = /4 < 1.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность

расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и F2

(фокусов) есть постоянная величина 2а (0<2a<F1, F2).

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы.

Х2 /а2 – у2/в2 = 1

Гипербола, заданная уравнением симметрична относительно осей координат (Рис 2).

Она пересекает ось ох в точках А1( -а, 0) и А2(+а, 0) –

вершинах гиперболы и не пересекает ось оу. Параметр а называется вещественной

полуосью, в – мнимой полуосью, С=

(а2 +в2) - расстояние от фокуса до центра симметрии О.

Отношение с/а=Е называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые у= ±в/а х

называются асимптотами гиперболы.

Рис.2

F1

F2

0

М(х,у) – произвольные точки гиперболы, (х,у) – текущие координаты

произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию

│F1M-F2M│=2a.

Пример 2. Дана гипербола х²-4у²=16. 1)Написать каноническое

уравнение гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты

гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.

Ответ: 1)х²/16 - у²/4 = 1; 2) а=

= 4; в= = 2. 3) у =

±(в/а) х или у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с=

(а² + в²) =

= = 2

,

Е=с/а=(2)/4 = ()/2 ;

Е=()/2 >1.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково

удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) у²= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)

2) х²= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)

РИС.3

0

у

РИС.4

М (х,у) – произвольная точка парабола,

(х,у) – текущие координаты произвольной точки,

х = -р/2 – уравнение директрисы.

FM = d, где d – расстояние от точки М до директрисы.

В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале

координат 0.

Парабола у² = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = - р/2

Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = - р/2

Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями:

1) у² = 4х; 2) у² = -4х; 3) х² =4у; 4) х² =-4у; а так

же их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.

y

Ответ:

2)

y

1)

							1

F (-1,0)

x

-1

F(1,0)

0 0

	y² = - 4x, p=2, F(-1,0) х = -1 – уравнение директрисы

y² = 4x, p=2, F(1,0)

х = -1 – уравнение директрисы

4)

3)

			х

х

0

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13